5 Faça duas iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método de Newton para resolver o sistema de abaixo, utilizando como valores iniciais \mathrm{x}_{1}=2 e \mathrm{x}_{2}=1 :
O enunciado pede: aplicar o método de Newton para sistemas e fazer duas iterações a partir do chute inicial [,x_1^{(0)}=2), \,x_2^{(0)}=1, calculando o erro em cada iteração.
Valor inicial: \,(x_1^{(0)},x_2^{(0)})=(2,1)\].
- Fazer duas iterações de Newton: obter \((x_1^{(1)},x_2^{(1)}) e (x_1^{(2)},x_2^{(2)}).
- Em cada iteração calcular o erro (usarei a norma Euclidiana do passo: \|\Delta x\|_2, onde \Delta x é a correção gerada pelo método).
- Vou apresentar todas as contas necessárias passo a passo (valores de f, jacobiano, determinantes, resolver o sistema linear).]
Passo 2
Relembrando o método de Newton para sistemas (a “aula” curta e prática):
Definir o vetor função \,F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
Para resolver o 2\times2 linear uso a regra de Cramer (ou inversa da matriz). Para uma matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} e vetor r=(r_1,r_2)^T, a solução de A u = r é
\det(A)=ad-bc,\qquad u_1=\frac{r_1 d - b r_2}{\det(A)},\quad u_2=\frac{a r_2 - r_1 c}{\det(A)}.
O erro em cada iteração será \|\Delta x\|_2=\sqrt{(\Delta x_1)^2+(\Delta x_2)^2}. Vou mostrar também as mudanças componentes a componentes.]
Passo 3
Calcular F(2,1):
Calcular e^{-x_1 x_2}=e^{-2\cdot1}=e^{-2}. Usarei a aproximação e^{-2}\approx 0{,}1353352832.
Para \sin(1{,}1444549880) usamos a identidade \sin(1+a)=\sin1\cos a+\cos1\sin a com a\approx 0{,}1444549880; isto dá \sin(1{,}14445)\approx 0{,}91049. Portanto
Resumo das contas (o que foi feito): em cada iteração
Avaliei F e J no ponto atual;
Resolvi o 2\times2 linear por Cramer para obter \Delta x;
Atualizei x e calculei a norma Euclidiana da correção como erro.
Você pode repetir essas mesmas etapas na prova: calcular F e J, montar o sistema J\Delta x=-F e resolver com Cramer (duas equações, dois desconhecidos é rápido), atualizar e medir \|\Delta x\| como critério de erro. Vai dar certo se fizer com calma e organização.