Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação com valores iniciais \mathrm{x}_{0}=1 e 2 :
x^{2}=6 x-5,76

Passo 1

O enunciado pede: fazer quatro iterações do método da bisseção para encontrar uma raiz da equação com os valores iniciais x_{0}=1 e 2, e calcular o erro em cada iteração.
Informações dadas:
  • A equação é x^{2}=6x-5,76
  • Valores iniciais (extremos do intervalo): \,a_{0}=1 e \,b_{0}=2.
O que vou devolver no final (para cada iteração): o ponto médio (aproximação da raiz) e o erro associado à iteração.

Passo 2

Preparar a função e explicar o método da bisseção (passo a passo, de forma didática e prática).
  1. Reescrever a equação na forma f(x)=0. Subtraindo 6x-5,76 dos dois lados:
f(x)=x^{2}-6x+5,76.
Aqui f(x) é a função contínua cujo zero queremos achar.
  1. Ideia do método da bisseção (explicação simples):
  • Se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em (a,b).
  • Calcula-se o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2}.
  • Avalia-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 paramos; se não, escolhe-se o subintervalo [a,c] ou [c,b] onde há mudança de sinal (ou seja, onde f muda de sinal).
  • Repetir o processo com o novo intervalo.
  1. Estimativa de erro (o que vamos calcular):
  • Depois de n iterações, o comprimento do intervalo é \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}.
  • Uma estimativa simples do erro absoluto da aproximação c_n é a meia do comprimento do intervalo atual:
\text{erro}_n \le \frac{b_n-a_n}{2}.
  • Como b_{0}-a_{0}=1 neste problema, temos o limite teórico
\text{erro}_n \le \frac{1}{2^{\,n+1}}.
Além disso, como erro prático podemos também considerar a diferença entre aproximações sucessivas |c_n-c_{n-1}|.

Passo 3

Avaliar os sinais iniciais para confirmar que há raiz no intervalo [1,2].
Calcular f(1) e f(2):
f(1)=1^{2}-6\cdot1+5,76=1-6+5,76=0,76.
f(2)=2^{2}-6\cdot2+5,76=4-12+5,76=-2,24.
Como f(1)=0,76>0 e f(2)=-2,24<0, há mudança de sinal em [1,2] e podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Iteração 1:
  • Intervalo atual: a_{0}=1,\; b_{0}=2.
  • Ponto médio:
c_{1}=\frac{1+2}{2}=1,5.
  • Avaliar f(c_{1}):
f(1,5)=1,5^{2}-6\cdot1,5+5,76=2,25-9+5,76=-0,99.
  • Sinais: f(1)=0,76>0 e f(1,5)=-0,99<0 ⇒ a raiz está em [1,1,5].
  • Novo intervalo: a_{1}=1,\; b_{1}=1,5.
  • Erro estimado (meia-intervalo):
\text{erro}_{1}=\frac{b_{1}-a_{1}}{2}=\frac{1,5-1}{2}=0,25.
  • Diferença entre aproximações (não havia c_{0}), portanto não calculamos |c_{1}-c_{0}|.

Passo 5

Iteração 2:
  • Intervalo atual: a_{1}=1,\; b_{1}=1,5.
  • Ponto médio:
c_{2}=\frac{1+1,5}{2}=1,25.
  • Avaliar f(c_{2}):
f(1,25)=1,25^{2}-6\cdot1,25+5,76=1,5625-7,5+5,76=-0,1775.
  • Sinais: f(1)=0,76>0 e f(1,25)=-0,1775<0 ⇒ a raiz está em [1,1,25].
  • Novo intervalo: a_{2}=1,\; b_{2}=1,25.
  • Erro estimado:
\text{erro}_{2}=\frac{b_{2}-a_{2}}{2}=\frac{1,25-1}{2}=0,125.
  • Diferença entre aproximações:
|c_{2}-c_{1}|=|1,25-1,5|=0,25.

Passo 6

Iteração 3:
  • Intervalo atual: a_{2}=1,\; b_{2}=1,25.
  • Ponto médio:
c_{3}=\frac{1+1,25}{2}=1,125.
  • Avaliar f(c_{3}):
f(1,125)=1,125^{2}-6\cdot1,125+5,76=1,265625-6,75+5,76=0,275625.
  • Sinais: f(1,25)=-0,1775<0 e f(1,125)=0,275625>0 ⇒ a raiz está em [1,125,1,25].
  • Novo intervalo: a_{3}=1,125,\; b_{3}=1,25.
  • Erro estimado:
\text{erro}_{3}=\frac{b_{3}-a_{3}}{2}=\frac{1,25-1,125}{2}=0,0625.
  • Diferença entre aproximações:
|c_{3}-c_{2}|=|1,125-1,25|=0,125.

Passo 7

Iteração 4:
  • Intervalo atual: a_{3}=1,125,\; b_{3}=1,25.
  • Ponto médio:
c_{4}=\frac{1,125+1,25}{2}=1,1875.
  • Avaliar f(c_{4}):
f(1,1875)=1,1875^{2}-6\cdot1,1875+5,76=1,41015625-7,125+5,76=0,04515625.
  • Sinais: f(1,1875)=0,04515625>0 e f(1,25)=-0,1775<0 ⇒ a raiz está em [1,1875,1,25].
  • Novo intervalo: a_{4}=1,1875,\; b_{4}=1,25.
  • Erro estimado:
\text{erro}_{4}=\frac{b_{4}-a_{4}}{2}=\frac{1,25-1,1875}{2}=0,03125.
  • Diferença entre aproximações:
|c_{4}-c_{3}|=|1,1875-1,125|=0,0625.

Resposta

Iteração 1: c_{1}=1,5,\\ \text{erro}_{1}=0,25
Iteração 2: c_{2}=1,25,\\ \text{erro}_{2}=0,125
Iteração 3: c_{3}=1,125,\\ \text{erro}_{3}=0,0625
Iteração 4: c_{4}=1,1875,\\ \text{erro}_{4}=0,03125

Exercícios relacionados