Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação com valores iniciais
e 2 :
Passo 1
O enunciado pede: fazer quatro iterações do método da bisseção para encontrar uma raiz da equação com os valores iniciais
e
, e calcular o erro em cada iteração.
Informações dadas:
- A equação é
- Valores iniciais (extremos do intervalo):
e .
O que vou devolver no final (para cada iteração): o ponto médio (aproximação da raiz) e o erro associado à iteração.
Passo 2
Preparar a função e explicar o método da bisseção (passo a passo, de forma didática e prática).
- Reescrever a equação na forma
. Subtraindo dos dois lados:
Aqui
é a função contínua cujo zero queremos achar.
- Ideia do método da bisseção (explicação simples):
- Se
é contínua em e e têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em . - Calcula-se o ponto médio
. - Avalia-se
. Se paramos; se não, escolhe-se o subintervalo ou onde há mudança de sinal (ou seja, onde muda de sinal). - Repetir o processo com o novo intervalo.
- Estimativa de erro (o que vamos calcular):
- Depois de
iterações, o comprimento do intervalo é . - Uma estimativa simples do erro absoluto da aproximação
é a meia do comprimento do intervalo atual:
- Como
neste problema, temos o limite teórico
Além disso, como erro prático podemos também considerar a diferença entre aproximações sucessivas
.
Passo 3
Avaliar os sinais iniciais para confirmar que há raiz no intervalo
.
Calcular
e
:
Como
e
, há mudança de sinal em
e podemos aplicar a bisseção.
Passo 4
Iteração 1:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliar
:
- Sinais:
e ⇒ a raiz está em . - Novo intervalo:
. - Erro estimado (meia-intervalo):
- Diferença entre aproximações (não havia
), portanto não calculamos .
Passo 5
Iteração 2:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliar
:
- Sinais:
e ⇒ a raiz está em . - Novo intervalo:
. - Erro estimado:
- Diferença entre aproximações:
Passo 6
Iteração 3:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliar
:
- Sinais:
e ⇒ a raiz está em . - Novo intervalo:
. - Erro estimado:
- Diferença entre aproximações:
Passo 7
Iteração 4:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliar
:
- Sinais:
e ⇒ a raiz está em . - Novo intervalo:
. - Erro estimado:
- Diferença entre aproximações:
Resposta
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4: