Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método de Newton para determinar uma raiz da equação com valor inicial \mathrm{x}_{0}=5 :
x^{2}=6 x-5,76

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A equação \,x^{2}=6x-5,76\,.
  • O valor inicial \,x_{0}=5\,.
    O que é pedido:
  • Executar quatro iterações do método de Newton a partir de \,x_{0}=5\,.
  • Calcular o erro a cada iteração (vou interpretar “erro a cada iteração” como o erro estimado entre iterações, isto é \left|x_{n+1}-x_n\right|, que é o procedimento padrão quando a raiz exata é desconhecida).

Passo 2

Primeiro vamos transformar a equação para a forma f(x)=0. Subtraindo o lado direito:
f(x)=x^{2}-6x+5,76.
Explicação do método de Newton (passo-a-passo didático):
  • A ideia do método de Newton é aproximar a função por sua reta tangente em um ponto atual x_n e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}.
  • A reta tangente a f em x_n tem equação (linearizando)
y \approx f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n).
  • Para encontrar a raiz da reta (onde y=0) resolvemos
0=f(x_n)+f'(x_n)(x_{n+1}-x_n),
que leva à fórmula iterativa do método de Newton:
x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui, f'(x) é a derivada de f; ela representa a inclinação da tangente em cada ponto.
  • Para nossa função:
f(x)=x^{2}-6x+5,76, \qquad f'(x)=2x-6.
  • Em cada iteração vamos calcular f(x_n), f'(x_n), aplicar a fórmula acima para obter x_{n+1} e então calcular o erro estimado \left|x_{n+1}-x_n\right|.
  • Vou fazer as contas explícitas e com atenção ao arredondamento (quando eu arredondar, menciono).

Passo 3

Calculos:
f(5)=5^{2}-6\cdot5+5,76=25-30+5,76=0,76,
f'(5)=2\cdot5-6=10-6=4.
Aplicando Newton:
x_{1}=5-\dfrac{0,76}{4}=5-0,19=4,81.
Erro entre iterações:
\left|x_{1}-x_{0}\right|=\left|4,81-5\right|=0,19.

Passo 4

Calculos (faço as contas detalhadas):
f(4,81)=4,81^{2}-6\cdot4,81+5,76.
Note que 4,81^{2}=23,1361 e 6\cdot4,81=28,86. Assim
f(4,81)=23,1361-28,86+5,76=0,0361.
Derivada:
f'(4,81)=2\cdot4,81-6=9,62-6=3,62.
Aplicando Newton:
x_{2}=4,81-\dfrac{0,0361}{3,62}.
Podemos escrever a fração exatamente: \dfrac{0,0361}{3,62}=\dfrac{361}{36200}\approx0,009972375689. Portanto
x_{2}=4,81-0,009972375689=4,80002762431\\ (\text{arred. em 11 casas decimais}).
Erro entre iterações:
\left|x_{2}-x_{1}\right|=\dfrac{361}{36200}\approx0,009972375689.

Passo 5

Para tornar as contas mais claras, observe que nossa função pode ser fatorada porque as raízes exatas são conhecidas (isso ajuda a entender a convergência):
f(x)=x^{2}-6x+5,76=(x-4,8)(x-1,2).
Assim, ao avaliar em x_{2} é conveniente usar essa forma.
Primeiro calcule a diferença em relação à raiz 4,8:
x_{2}-4,8=4,80002762431-4,8=\dfrac{1}{36200}\approx0,0000276243093923.
Agora:
f(x_{2})=(x_{2}-4,8)(x_{2}-1,2).
Calculando exatamente (com frações já obtidas nas iterações anteriores) chega-se a
f(x_{2})=\dfrac{130321}{1\,310\,440\,000}\approx0,000099447517,
e
f'(x_{2})=2x_{2}-6=\dfrac{130322}{36200}\approx3,60005524862.
Aplicando Newton:
x_{3}=x_{2}-\dfrac{f(x_{2})}{f'(x_{2})} =4,80002762431-\dfrac{130321}{36200\cdot130322}.
Fazendo a divisão obtemos numericamente
\dfrac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx0,000027624097392303.
Portanto
x_{3}\approx4,80002762431-0,000027624097392303=4,8000000002126077\\ (\text{arred.}),
e a diferença em relação a 4,8 é muito pequena:
x_{3}-4,8=\dfrac{1}{4\,717\,656\,400}\approx2,119999620\cdot10^{-10}.
Erro entre iterações:
\left|x_{3}-x_{2}\right|\approx0,000027624097392303\\ (\approx2,76240973973923\times10^{-5}).

Passo 6

Agora x_{3} já está extremamente perto de 4,8. Repetindo o processo:
f(x_{3})=(x_{3}-4,8)(x_{3}-1,2), \qquad f'(x_{3})=2x_{3}-6.
Como x_{3}-4,8 é da ordem de 2{,}12\times10^{-10}, ao calcular
\dfrac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}
obtemos um valor aproximadamente da mesma ordem (ainda que ligeiramente menor), isto é, cerca de 2{,}12\times10^{-10}. Então
x_{4}=x_{3}-\dfrac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}
fica tão próximo de 4,8 que a diferença residual x_{4}-4,8 é da ordem de 10^{-20} (praticamente zero para cálculos numéricos convencionais).
Numericamente podemos escrever:
\left|x_{4}-x_{3}\right|\approx2,12\times10^{-10}
e
x_{4}\approx4,8\quad(\text{com erro de aproximação } \sim1{,}25\times10^{-20}\text{ em relação a }4,8).çãçã

Resposta

x_{1}=4,81,\quad \left|x_{1}-x_{0}\right|=0,19
x_{2}=4,80002762431,\quad \left|x_{2}-x_{1}\right|=0,009972375689
x_{3}=4,8000000002126077\\ (\text{aprox}),\quad \left|x_{3}-x_{2}\right|=0,000027624097392303
x_{4}\approx4,8,\quad \left|x_{4}-x_{3}\right|\approx2,12\times10^{-10}

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