Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método de Newton para determinar uma raiz da equação com valor inicial
:
Passo 1
O enunciado fornece:
- A equação
. - O valor inicial
.
O que é pedido: - Executar quatro iterações do método de Newton a partir de
. - Calcular o erro a cada iteração (vou interpretar “erro a cada iteração” como o erro estimado entre iterações, isto é
, que é o procedimento padrão quando a raiz exata é desconhecida).
Passo 2
Primeiro vamos transformar a equação para a forma
. Subtraindo o lado direito:
Explicação do método de Newton (passo-a-passo didático):
- A ideia do método de Newton é aproximar a função por sua reta tangente em um ponto atual
e usar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - A reta tangente a
em tem equação (linearizando)
- Para encontrar a raiz da reta (onde
) resolvemos
que leva à fórmula iterativa do método de Newton:
Aqui,
é a derivada de
; ela representa a inclinação da tangente em cada ponto.
- Para nossa função:
- Em cada iteração vamos calcular
, , aplicar a fórmula acima para obter e então calcular o erro estimado . - Vou fazer as contas explícitas e com atenção ao arredondamento (quando eu arredondar, menciono).
Passo 3
Calculos:
Aplicando Newton:
Erro entre iterações:
Passo 4
Calculos (faço as contas detalhadas):
Note que
e
. Assim
Derivada:
Aplicando Newton:
Podemos escrever a fração exatamente:
. Portanto
Erro entre iterações:
Passo 5
Para tornar as contas mais claras, observe que nossa função pode ser fatorada porque as raízes exatas são conhecidas (isso ajuda a entender a convergência):
Assim, ao avaliar em
é conveniente usar essa forma.
Primeiro calcule a diferença em relação à raiz :
Primeiro calcule a diferença em relação à raiz
Agora:
Calculando exatamente (com frações já obtidas nas iterações anteriores) chega-se a
e
Aplicando Newton:
Fazendo a divisão obtemos numericamente
Portanto
e a diferença em relação a
é muito pequena:
Erro entre iterações:
Passo 6
Agora
já está extremamente perto de
. Repetindo o processo:
Como
é da ordem de
, ao calcular
obtemos um valor aproximadamente da mesma ordem (ainda que ligeiramente menor), isto é, cerca de
. Então
fica tão próximo de
que a diferença residual
é da ordem de
(praticamente zero para cálculos numéricos convencionais).
Numericamente podemos escrever:
Numericamente podemos escrever:
e