Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
\sigma(t)=(t, t, t), \quad t \in[-1,1];

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\sigma(t)=(t,t,t),\qquad t\in[-1,1].
O que é pedido: fazer um esboço (desenho) da curva definida por \sigma. Informações explícitas que temos:
  • Para cada t a imagem é o ponto (t,t,t).
  • O parâmetro varia de t=-1 até t=1.
  • Pontos notáveis: t=-1 gera (-1,-1,-1), t=0 gera (0,0,0) e t=1 gera (1,1,1).

Passo 2

Entender a forma da curva sem desenhar ainda: a imagem da curva é o conjunto
\{\,(t,t,t)\mid t\in[-1,1]\,\}.
Eliminando o parâmetro, escrevemos as coordenadas como x=t, y=t, z=t. Portanto os pontos satisfazem a condição
x=y=z.
Isto descreve geometricamente uma reta em \mathbb{R}^3 — a reta que passa pela origem e tem direção igual ao vetor (1,1,1). Em forma vetorial:
\mathbf{r}(t)=t(1,1,1).
Como t só vai de -1 a 1, a imagem não é a reta inteira, mas o segmento da reta entre (-1,-1,-1) e (1,1,1).

Passo 3

Identificar endpoints, orientação e pontos intermediários:
  • Extremidade para t=-1: \sigma(-1)=(-1,-1,-1).
  • Extremidade para t=1: \sigma(1)=(1,1,1).
  • Ponto médio para t=0: \sigma(0)=(0,0,0).
    A orientação natural da curva é a direção em que t cresce: ela vai de (-1,-1,-1) para (1,1,1) quando t aumenta.

Passo 4

Comportamento do movimento ao longo da curva (no caso de querer desenhar setas de orientação ou estudar velocidade):
Calcule a derivada
\sigma'(t)=(1,1,1),
que é constante. A magnitude (velocidade) é
\lvert\sigma'(t)\rvert=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
Interpretação didática: o ponto percorre o segmento com velocidade constante \sqrt{3} na direção do vetor (1,1,1). A curvatura é zero porque a segunda derivada é nula: \sigma''(t)=(0,0,0).

Passo 5

Cálculo do comprimento do segmento (útil para entender escala do esboço):
\text{comprimento}=\int_{-1}^{1}\lvert\sigma'(t)\rvert\,dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{3}\,dt=2\sqrt{3}.

Passo 6

Como esboçar na folha — passo a passo prático e intuitivo:
  1. Desenhe três eixos mutuamente perpendiculares: marque x para a direita, y para cima/do lado e z saindo para cima (ou para fora da página) — escolha uma projeção em perspectiva que você prefira.
  2. Marque o ponto (1,1,1): está na mesma distância ao longo de cada eixo positivo (procure posicioná-lo na “diagonal” para cima/para a frente). Marque (-1,-1,-1) simetricamente no sentido negativo.
  3. Marque a origem (0,0,0) como ponto médio entre eles.
  4. Trace um segmento de reta ligando (-1,-1,-1) a (1,1,1). Coloque uma seta apontando de (-1,-1,-1) para (1,1,1) para indicar a orientação de t crescente.
  5. Dica de visualização: projete a curva em qualquer plano coordenado (por exemplo, projeção no plano xy é a reta y=x entre (-1,-1) e (1,1)); essas projeções ajudam a posicionar corretamente os pontos em perspectiva.

Passo 7

Analogia simples para fixar: em \mathbb{R}^2 a curva \gamma(t)=(t,t) é o segmento da reta y=x. A nossa curva em \mathbb{R}^3 é exatamente o análogo tridimensional: o segmento da reta x=y=z.

Resposta

O esboço é o segmento de reta entre (-1,-1,-1) e (1,1,1), descrito por \sigma(t)=(t,t,t) para t\in[-1,1], orientado de t=-1 para t=1.

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