Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
;
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
O que é pedido: fazer um esboço (desenho) da curva definida por
. Informações explícitas que temos:
- Para cada
a imagem é o ponto . - O parâmetro varia de
até . - Pontos notáveis:
gera , gera e gera .
Passo 2
Entender a forma da curva sem desenhar ainda: a imagem da curva é o conjunto
Eliminando o parâmetro, escrevemos as coordenadas como
,
,
. Portanto os pontos satisfazem a condição
Isto descreve geometricamente uma reta em
— a reta que passa pela origem e tem direção igual ao vetor
. Em forma vetorial:
Como
só vai de
a
, a imagem não é a reta inteira, mas o segmento da reta entre
e
.
Passo 3
Identificar endpoints, orientação e pontos intermediários:
- Extremidade para
: . - Extremidade para
: . - Ponto médio para
: .
A orientação natural da curva é a direção em quecresce: ela vai de para quando aumenta.
Passo 4
Comportamento do movimento ao longo da curva (no caso de querer desenhar setas de orientação ou estudar velocidade):
Calcule a derivada
Calcule a derivada
que é constante. A magnitude (velocidade) é
Interpretação didática: o ponto percorre o segmento com velocidade constante
na direção do vetor
. A curvatura é zero porque a segunda derivada é nula:
.
Passo 5
Cálculo do comprimento do segmento (útil para entender escala do esboço):
Passo 6
Como esboçar na folha — passo a passo prático e intuitivo:
- Desenhe três eixos mutuamente perpendiculares: marque
para a direita, para cima/do lado e saindo para cima (ou para fora da página) — escolha uma projeção em perspectiva que você prefira. - Marque o ponto
: está na mesma distância ao longo de cada eixo positivo (procure posicioná-lo na “diagonal” para cima/para a frente). Marque simetricamente no sentido negativo. - Marque a origem
como ponto médio entre eles. - Trace um segmento de reta ligando
a . Coloque uma seta apontando de para para indicar a orientação de crescente. - Dica de visualização: projete a curva em qualquer plano coordenado (por exemplo, projeção no plano
é a reta entre e ); essas projeções ajudam a posicionar corretamente os pontos em perspectiva.
Passo 7
Analogia simples para fixar: em
a curva
é o segmento da reta
. A nossa curva em
é exatamente o análogo tridimensional: o segmento da reta
.
Resposta
O esboço é o segmento de reta entre
e
, descrito por
para
, orientado de
para
.