Dê uma parametrização para cada curva abaixo:
A circunferência x^{2}+(y-1)^{2}=1;

Passo 1

O enunciado pede: "Dê uma parametrização para cada curva abaixo: A circunferência x^{2}+(y-1)^{2}=1".
Informações que o enunciado fornece (tirei essas informações diretamente da equação):
  • A equação é \,x^{2}+(y-1)^{2}=1.
  • Isso descreve uma circunferência de centro (0,1) e raio 1.
  • A tarefa é fornecer uma função de parâmetro t que gere todos os pontos (x,y) dessa circunferência quando t variar num intervalo apropriado.

Passo 2

Ideia básica (sem pular etapas): usar as funções trigonométricas seno e cosseno por causa da identidade fundamental
\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Essa identidade nos dá uma forma natural de escrever coordenadas (x,y) que sempre satisfazem uma soma de quadrados igual a 1. Para uma circunferência de raio R e centro (x_0,y_0) a parametrização padrão é
x(t)=x_0+R\cos t,\qquad y(t)=y_0+R\sin t,
porque então
(x(t)-x_0)^2+(y(t)-y_0)^2=R^2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=R^2.
Aqui cada símbolo significa:
  • t é o parâmetro (um número real que varia).
  • R é o raio da circunferência.
  • (x_0,y_0) é o centro da circunferência.
  • x(t) e y(t) dão as coordenadas do ponto na circunferência para cada t.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: o centro é (0,1) e o raio é 1. Substituindo em x_0,y_0,R na fórmula padrão obtemos
x(t)=0+1\cos t=\cos t, \qquad y(t)=1+1\sin t=1+\sin t.
Portanto uma parametrização candidata é
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;1+\sin t\bigr).

Passo 4

Verificação passo a passo (mostrando que todo ponto gerado satisfaz a equação):
Calcule
x(t)^{2}+(y(t)-1)^{2}=\cos^{2}t+\bigl(1+\sin t-1\bigr)^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Como a expressão dá 1 para todo t, todos os pontos \mathbf{r}(t) pertencem à circunferência dada. Assim a parametrização está correta.

Passo 5

Intervalo do parâmetro e orientação:
  • Para percorrer toda a circunferência uma vez, escolha t em qualquer intervalo de comprimento 2\pi; o padrão é t\in[0,2\pi). Ou seja, variar t de 0 até 2\pi produz todos os pontos sem repetições finais.
  • Para t aumentando, a orientação é contrária ao sentido horário (contra-horário). Por exemplo,
    • em t=0 obtemos \mathbf{r}(0)=(\cos 0,\,1+\sin 0)=(1,\,1), ponto da direita do centro;
    • em t=\tfrac{\pi}{2} obtemos (0,\,2), ponto superior.
  • Se quiser a orientação oposta (horária), basta trocar \,t por -t ou usar
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;1-\sin t\bigr),
que também satisfaz a equação e percorre a circunferência no sentido inverso.

Passo 6

Observação útil para provas / integrais:
  • A derivada é \mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t) e sua norma é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1,
ou seja, essa parametrização tem velocidade unitária (muito prática em cálculos de comprimento de arco e integrais de linha).

Resposta

\mathbf{r}(t)=(\cos t,\;1+\sin t),\quad t\in[0,2\pi)

Exercícios relacionados