Dê uma parametrização para cada curva abaixo:
A circunferência
;
A circunferência
Passo 1
O enunciado pede: "Dê uma parametrização para cada curva abaixo: A circunferência
".
Informações que o enunciado fornece (tirei essas informações diretamente da equação):
Informações que o enunciado fornece (tirei essas informações diretamente da equação):
- A equação é
. - Isso descreve uma circunferência de centro
e raio . - A tarefa é fornecer uma função de parâmetro
que gere todos os pontos dessa circunferência quando variar num intervalo apropriado.
Passo 2
Ideia básica (sem pular etapas): usar as funções trigonométricas seno e cosseno por causa da identidade fundamental
Essa identidade nos dá uma forma natural de escrever coordenadas
que sempre satisfazem uma soma de quadrados igual a
. Para uma circunferência de raio
e centro
a parametrização padrão é
porque então
Aqui cada símbolo significa:
-
é o parâmetro (um número real que varia). -
é o raio da circunferência. -
é o centro da circunferência. -
e dão as coordenadas do ponto na circunferência para cada .
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: o centro é
e o raio é
. Substituindo em
na fórmula padrão obtemos
Portanto uma parametrização candidata é
Passo 4
Verificação passo a passo (mostrando que todo ponto gerado satisfaz a equação):
Calcule
Calcule
Como a expressão dá
para todo
, todos os pontos
pertencem à circunferência dada. Assim a parametrização está correta.
Passo 5
Intervalo do parâmetro e orientação:
- Para percorrer toda a circunferência uma vez, escolha
em qualquer intervalo de comprimento ; o padrão é . Ou seja, variar de até produz todos os pontos sem repetições finais. - Para
aumentando, a orientação é contrária ao sentido horário (contra-horário). Por exemplo, - em
obtemos , ponto da direita do centro; - em
obtemos , ponto superior.
- em
- Se quiser a orientação oposta (horária), basta trocar
por ou usar
que também satisfaz a equação e percorre a circunferência no sentido inverso.
Passo 6
Observação útil para provas / integrais:
- A derivada é
e sua norma é
ou seja, essa parametrização tem velocidade unitária (muito prática em cálculos de comprimento de arco e integrais de linha).