Nos itens abaixo, \sigma(t) representa o vetor posição de uma partícula se movendo em um instante de tempo t. Determine em cada item o vetor velocidade V(t), o vetor aceleração A(t), a velocidade escalar v em t=t_{1} :
\sigma(t)=\left(e^{2 t}, t^{2}\right), \quad t_{1}=0;

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como \sigma(t)=\left(e^{2t},\,t^{2}\right) e pede três coisas:
  • o vetor velocidade V(t);
  • o vetor aceleração A(t);
  • a velocidade escalar (magnitude da velocidade) em t=t_{1}, onde t_{1}=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • componente x(t)=e^{2t};
  • componente y(t)=t^{2};
  • instante de interesse t_{1}=0.

Passo 2

Definição de vetor velocidade: o vetor velocidade é a derivada temporal do vetor posição, tomada componente a componente. Em fórmula:
V(t)=\sigma'(t)=\left(x'(t),\,y'(t)\right).
Agora aplicamos regras de derivação nas componentes. Regras usadas:
  • Regra do expoente linear (cadeia): a derivada de e^{a t} é a e^{a t}.
  • Regra do poder (power rule): a derivada de t^{n} é n t^{n-1}.
Aplicando à primeira componente x(t)=e^{2t}: pela cadeia, x'(t)=2e^{2t}.
Aplicando à segunda componente y(t)=t^{2}: pela regra do poder, y'(t)=2t.
Portanto,
V(t)=\left(2e^{2t},\,2t\right).

Passo 3

Explicando a cadeia de forma bem prática (mini-aula rápida): se f(t)=e^{u(t)} então f'(t)=u'(t)\,e^{u(t)}. No nosso caso u(t)=2t e u'(t)=2, logo d/dt\big(e^{2t}\big)=2e^{2t}. Isso é importante porque evita erro de só derivar o expoente parcialmente.

Passo 4

Definição de vetor aceleração: é a derivada temporal do vetor velocidade, componente a componente:
A(t)=V'(t)=\left((2e^{2t})',\,(2t)'\right).
Derivando cada componente:
  • (2e^{2t})' = 2\cdot( e^{2t})' = 2\cdot(2e^{2t}) = 4e^{2t} (aplicando a cadeia novamente);
  • (2t)' = 2.
Logo,
A(t)=\left(4e^{2t},\,2\right).

Passo 5

Definição de velocidade escalar (rapidez): é a norma do vetor velocidade. Para um vetor em \mathbb{R}^{2}, \| (u,v)\|=\sqrt{u^{2}+v^{2}}. Assim:
v(t)=\|V(t)\|=\sqrt{(2e^{2t})^{2}+(2t)^{2}}.
Calculando e simplificando fator comum 4:
v(t)=\sqrt{4e^{4t}+4t^{2}}=2\sqrt{e^{4t}+t^{2}}.

Passo 6

Agora avaliamos em t_{1}=0.
  1. Vetor velocidade em t=0:
V(0)=\left(2e^{2\cdot 0},\,2\cdot 0\right)=\left(2e^{0},\,0\right)=\left(2,\,0\right).
  1. Vetor aceleração em t=0:
A(0)=\left(4e^{2\cdot 0},\,2\right)=\left(4e^{0},\,2\right)=\left(4,\,2\right).
  1. Velocidade escalar em t=0:
    Usando v(t)=2\sqrt{e^{4t}+t^{2}},
v(0)=2\sqrt{e^{0}+0}=2\sqrt{1}=2.
(Confere com \|V(0)\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=2.)

Passo 7

Resumo e pequeno incentivo: você aprendeu a derivar componente a componente, usou a regra da cadeia para exponenciais e a regra do poder para polinômios, e calculou a norma de um vetor em \mathbb{R}^{2}. Esses procedimentos são padrão em problemas de cinemática vetorial — pratique mais alguns para ganhar confiança; você está indo bem!

Resposta

V(t)=\left(2e^{2t},\,2t\right)
A(t)=\left(4e^{2t},\,2\right)
v(t_{1}=0)=2

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