Nos itens abaixo,
representa o vetor posição de uma partícula se movendo em um instante de tempo
. Determine em cada item o vetor velocidade
, o vetor aceleração
, a velocidade escalar
em
:
;
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como
e pede três coisas:
- o vetor velocidade
; - o vetor aceleração
; - a velocidade escalar (magnitude da velocidade) em
, onde .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- componente
; - componente
; - instante de interesse
.
Passo 2
Definição de vetor velocidade: o vetor velocidade é a derivada temporal do vetor posição, tomada componente a componente. Em fórmula:
Agora aplicamos regras de derivação nas componentes. Regras usadas:
- Regra do expoente linear (cadeia): a derivada de
é . - Regra do poder (power rule): a derivada de
é .
Aplicando à primeira componente
: pela cadeia,
.
Aplicando à segunda componente : pela regra do poder,
.
Aplicando à segunda componente
Portanto,
Passo 3
Explicando a cadeia de forma bem prática (mini-aula rápida): se
então
. No nosso caso
e
, logo
. Isso é importante porque evita erro de só derivar o expoente parcialmente.
Passo 4
Definição de vetor aceleração: é a derivada temporal do vetor velocidade, componente a componente:
Derivando cada componente:
-
(aplicando a cadeia novamente); -
.
Logo,
Passo 5
Definição de velocidade escalar (rapidez): é a norma do vetor velocidade. Para um vetor em
,
. Assim:
Calculando e simplificando fator comum
:
Passo 6
Agora avaliamos em
.
- Vetor velocidade em
:
- Vetor aceleração em
:
- Velocidade escalar em
:
Usando,
(Confere com
.)
Passo 7
Resumo e pequeno incentivo: você aprendeu a derivar componente a componente, usou a regra da cadeia para exponenciais e a regra do poder para polinômios, e calculou a norma de um vetor em
. Esses procedimentos são padrão em problemas de cinemática vetorial — pratique mais alguns para ganhar confiança; você está indo bem!