Faça um esboço do gráfico das curvas de nível
para os valores de
dados:
.
Passo 1
O enunciado pede: fazer um esboço (desenho) das curvas de nível
da função
para os valores
.
Informações dadas:
- A função é
. - As curvas de nível
são os conjuntos de pontos tais que . - Os valores de
solicitados são .
Passo 2
O que é uma curva de nível e como escrevê-la aqui. Por definição, a curva de nível
é o conjunto
Isto é, fixamos
e olhamos todos os pontos
que satisfazem essa igualdade.
Passo 3
Interpretação geométrica da equação. A equação
é exatamente a equação padrão de um círculo no plano, centrado em
com raio
tal que
Portanto:
- Se
, a curva é um círculo centrado em com raio . - Se
, a curva degenerada é o único ponto central (raio ). - Se
, não existem pontos reais que satisfaçam a equação, porque soma de dois quadrados não pode ser negativa; logo é o conjunto vazio.
Passo 4
Calcular os raios e descrever cada
pedido:
- Para
: como , não há solução real. Logo . - Para
: idem, . - Para
: . Então (um ponto). - Para
: . Então é o círculo centrado em de raio . - Para
: . Então é o círculo centrado em de raio .
Passo 5
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar na prova):
- Desenhe os eixos
e e marque a posição do ponto central . Para ajudar, marque 1 unidade à direita do origem e 2 unidades acima. - Para
coloque um ponto sólido em . - Para
desenhe um círculo de raio em torno de . Uma forma prática: marque os pontos — todos a distância do centro — e ligue suavemente formando o círculo. - Para
desenhe um círculo maior, com raio . Para localizar alguns pontos, observe que um ponto deslocado por do centro tem distância ; assim marque como pontos sobre esse círculo e ligue-os suavemente. - Não desenhe nada para
e (ou, se quiser, anote ao lado “nenhuma curva — ”).
Passo 6
Resumo visual mental: todas as curvas são círculos concêntricos com centro em
. À medida que
aumenta (quando
), o raio cresce como
. Para
não há curvas reais.