Faça um esboço do gráfico das curvas de nível C_{k} para os valores de k dados:
z=(x-1)^{2}+(y-2)^{2} ; k=-2,-1,0,1,2.

Passo 1

O enunciado pede: fazer um esboço (desenho) das curvas de nível C_{k} da função
z=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}
para os valores k=-2,-1,0,1,2.
Informações dadas:
  • A função é z=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}.
  • As curvas de nível C_{k} são os conjuntos de pontos (x,y) tais que z=k.
  • Os valores de k solicitados são k=-2,-1,0,1,2.

Passo 2

O que é uma curva de nível e como escrevê-la aqui. Por definição, a curva de nível C_{k} é o conjunto
C_{k}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=k\}.
Isto é, fixamos z=k e olhamos todos os pontos (x,y) que satisfazem essa igualdade.

Passo 3

Interpretação geométrica da equação. A equação
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=k
é exatamente a equação padrão de um círculo no plano, centrado em (1,2) com raio r tal que
r^{2}=k.
Portanto:
  • Se k>0, a curva é um círculo centrado em (1,2) com raio r=\sqrt{k}.
  • Se k=0, a curva degenerada é o único ponto central (1,2) (raio r=0).
  • Se k<0, não existem pontos reais que satisfaçam a equação, porque soma de dois quadrados não pode ser negativa; logo C_{k} é o conjunto vazio.

Passo 4

Calcular os raios e descrever cada k pedido:
  • Para k=-2: como k<0, não há solução real. Logo C_{-2}=\varnothing.
  • Para k=-1: idem, C_{-1}=\varnothing.
  • Para k=0: r=\sqrt{0}=0. Então C_{0}=\{(1,2)\} (um ponto).
  • Para k=1: r=\sqrt{1}=1. Então C_{1} é o círculo centrado em (1,2) de raio 1.
  • Para k=2: r=\sqrt{2}\approx1{,}414. Então C_{2} é o círculo centrado em (1,2) de raio \sqrt{2}.

Passo 5

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a posição do ponto central (1,2). Para ajudar, marque 1 unidade à direita do origem e 2 unidades acima.
  2. Para k=0 coloque um ponto sólido em (1,2).
  3. Para k=1 desenhe um círculo de raio 1 em torno de (1,2). Uma forma prática: marque os pontos (2,2),(0,2),(1,3),(1,1) — todos a distância 1 do centro — e ligue suavemente formando o círculo.
  4. Para k=2 desenhe um círculo maior, com raio \sqrt{2}. Para localizar alguns pontos, observe que um ponto deslocado por (1,1) do centro tem distância \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}; assim marque (2,3),(0,1),(2,1),(0,3) como pontos sobre esse círculo e ligue-os suavemente.
  5. Não desenhe nada para k=-1 e k=-2 (ou, se quiser, anote ao lado “nenhuma curva — k<0”).

Passo 6

Resumo visual mental: todas as curvas são círculos concêntricos com centro em (1,2). À medida que k aumenta (quando k\ge0), o raio cresce como \sqrt{k}. Para k<0 não há curvas reais.

Resposta

k=-2: C_{-2}=\varnothing (nenhum ponto real)\n
k=-1: C_{-1}=\varnothing (nenhum ponto real)\n
k=0: C_{0}=\{(1,2)\} (ponto, raio 0)\n
k=1: C_{1}: círculo centrado em (1,2) com raio 1\n
k=2: C_{2}: círculo centrado em (1,2) com raio \sqrt{2}

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