Faça um esboço do gráfico das curvas de nível
para os valores de
dados:
;
Passo 1
O enunciado pede um esboço (gráfico) das curvas de nível
da função
para os valores
.
Informações dadas e o que se pede:
- A função é
. - As curvas de nível são os conjuntos de pontos
onde tem o valor fixo . - Precisamos obter, para cada
pedido, a equação da curva de nível e descrever/esboçar como fica no plano .
Passo 2
Definição prática de curva de nível e derivação da equação:
- Por definição, a curva de nível
é
- Aqui substituímos
:
- Isolando
obtemos
Essa é a forma-chave: é a equação de um círculo centrado na origem quando
; se
é o ponto
; se
não há pontos reais (conjunto vazio).
Explicação didática (sem pânico): a expressão
representa sempre um círculo de centro
e raio
. Aqui definimos
Passo 3
Calcular
e
para cada
pedido, e classificar a curva:
- Para
:
Então
é o círculo
.
- Para
:
Então
é o círculo
.
- Para
:
Então
é o círculo
.
- Para
:
Então
é o círculo
.
- Para
:
Então
é o círculo
.
- Para
:
Então
é o ponto
.
- Para
:
não existem pontos reais que satisfaçam a equação. Logo
é o conjunto vazio.
Observação intuitiva: à medida que
aumenta,
diminui, por isso os círculos ficam menores; para
não sobra nada; para
sobra só o centro.
Passo 4
Como esboçar na prática (passo-a-passo para desenhar rápido numa prova):
- Desenhe os eixos
e no plano. - Marque no eixo
os pontos , , , , . Se quiser apenas uma ordem visual, use as aproximações , , , , . - Desenhe círculos concêntricos (mesmo centro na origem) passando por esses pontos: o maior será para
, depois , , , ; marque cada círculo com seu . - Coloque um ponto no centro para
. - Indique que não há curva para
(ou escreva ).
Dica prática: comece desenhando o círculo de raio
(maior), depois vá fazendo círculos menores; todos têm o mesmo centro (origem), então ficam bem concentricamente ordenados.
Passo 5
Interpretação extra breve (opcional, para fixar): geometricamente, as curvas de nível são as interseções da superfície
(um paraboloide invertido com vértice em
) com planos horizontais
. Planos altos (grandes
) cortam pouco ou nada; planos baixos (pequenos
) cortam a superfície formando círculos maiores.