Faça um esboço do gráfico das curvas de nível C_{k} para os valores de k dados:
z=2-\left(x^{2}+y^{2}\right) ; k=-3,-2,-1,0,1,2,3;

Passo 1

O enunciado pede um esboço (gráfico) das curvas de nível C_{k} da função
z=2-\left(x^{2}+y^{2}\right)
para os valores k=-3,-2,-1,0,1,2,3.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função é z=2-(x^{2}+y^{2}).
  • As curvas de nível são os conjuntos de pontos (x,y) onde z tem o valor fixo k.
  • Precisamos obter, para cada k pedido, a equação da curva de nível C_{k} e descrever/esboçar como fica no plano xy.

Passo 2

Definição prática de curva de nível e derivação da equação:
  • Por definição, a curva de nível C_{k} é
C_{k}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid z(x,y)=k\}.
  • Aqui substituímos z=k:
k=2-(x^{2}+y^{2}).
  • Isolando x^{2}+y^{2} obtemos
x^{2}+y^{2}=2-k.
Essa é a forma-chave: é a equação de um círculo centrado na origem quando 2-k>0; se 2-k=0 é o ponto (0,0); se 2-k<0 não há pontos reais (conjunto vazio).
Explicação didática (sem pânico): a expressão x^{2}+y^{2}=R^{2} representa sempre um círculo de centro (0,0) e raio R\ge0. Aqui definimos
R^{2}=2-k,\qquad R=\sqrt{2-k}\\ \text{ (se }2-k\ge0\text{)}.

Passo 3

Calcular R^{2}=2-k e R para cada k pedido, e classificar a curva:
  • Para k=-3:
R^{2}=2-(-3)=5,\qquad R=\sqrt{5}\approx2,236.
Então C_{-3} é o círculo x^{2}+y^{2}=5.
  • Para k=-2:
R^{2}=2-(-2)=4,\qquad R=2.
Então C_{-2} é o círculo x^{2}+y^{2}=4.
  • Para k=-1:
R^{2}=2-(-1)=3,\qquad R=\sqrt{3}\approx1,732.
Então C_{-1} é o círculo x^{2}+y^{2}=3.
  • Para k=0:
R^{2}=2-0=2,\qquad R=\sqrt{2}\approx1,414.
Então C_{0} é o círculo x^{2}+y^{2}=2.
  • Para k=1:
R^{2}=2-1=1,\qquad R=1.
Então C_{1} é o círculo x^{2}+y^{2}=1.
  • Para k=2:
R^{2}=2-2=0,\qquad R=0.
Então C_{2} é o ponto (0,0).
  • Para k=3:
R^{2}=2-3=-1<0,
não existem pontos reais que satisfaçam a equação. Logo C_{3} é o conjunto vazio.
Observação intuitiva: à medida que k aumenta, 2-k diminui, por isso os círculos ficam menores; para k>2 não sobra nada; para k=2 sobra só o centro.

Passo 4

Como esboçar na prática (passo-a-passo para desenhar rápido numa prova):
  1. Desenhe os eixos x e y no plano.
  2. Marque no eixo x os pontos x=\pm\sqrt{5}, x=\pm2, x=\pm\sqrt{3}, x=\pm\sqrt{2}, x=\pm1. Se quiser apenas uma ordem visual, use as aproximações 2,236, 2, 1,732, 1,414, 1.
  3. Desenhe círculos concêntricos (mesmo centro na origem) passando por esses pontos: o maior será para k=-3, depois k=-2, k=-1, k=0, k=1; marque cada círculo com seu k.
  4. Coloque um ponto no centro para k=2.
  5. Indique que não há curva para k=3 (ou escreva C_{3}=\varnothing).
Dica prática: comece desenhando o círculo de raio 2,236 (maior), depois vá fazendo círculos menores; todos têm o mesmo centro (origem), então ficam bem concentricamente ordenados.

Passo 5

Interpretação extra breve (opcional, para fixar): geometricamente, as curvas de nível são as interseções da superfície z=2-(x^{2}+y^{2}) (um paraboloide invertido com vértice em z=2) com planos horizontais z=k. Planos altos (grandes k) cortam pouco ou nada; planos baixos (pequenos k) cortam a superfície formando círculos maiores.

Resposta

C_{-3}: x^{2}+y^{2}=5\n
C_{-2}: x^{2}+y^{2}=4\n
C_{-1}: x^{2}+y^{2}=3\n
C_{0}: x^{2}+y^{2}=2\n
C_{1}: x^{2}+y^{2}=1\n
C_{2}: \{(0,0)\}\n
C_{3}: \varnothing

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