Verifique o Teorema de Stokes para \vec{F}=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k}, S o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z \leq 0, orientado no sentido de z-negativo. R .: \pi
Passo 1
O enunciado nos dá:
O campo vetorial \vec{F} = y\,\vec{i} + z\,\vec{j} + x\,\vec{k}.
A superfície S é o hemisfério unitário definido por x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 com z\le 0.
A orientação de S é no sentido de z-negativo (ou seja, o versor normal tem componente z negativa).
O que nos pedem: verificar o Teorema de Stokes, isto é, mostrar que a integral de linha de \vec{F} ao longo da fronteira \partial S coincide com a integral de superfície do rotacional de \vec{F} sobre S:
\vec{n} é o versor normal unitário à superfície, escolhido de acordo com a orientação dada (a normal deve apontar para z-negativo neste problema).
Vou calcular os dois lados da igualdade e mostrar que dão o mesmo valor.
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Aqui P=y,\;Q=z,\;R=x. Aplicando a fórmula:
Ou seja, o rotacional é o vetor constante (-1,-1,-1).
Passo 4
Preparar a integral de superfície \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Para a esfera unitária, o versor normal unitário apontando radialmente é \vec{n}=(x,y,z). Como queremos orientação com componente z negativa e o hemisfério tem z\le0, escolher \vec{n}=(x,y,z) está compatível (o componente z de \vec{n} é z\le0).
Então o produto escalar do rotacional com \vec{n} é
Observação de simetria (mini-aula): sobre o hemisfério inferior, as integrais de x e de y são zero porque a superfície é simétrica ao trocar x por -x ou y por -y; para cada ponto (x,y,z) existe (-x,y,z) no mesmo hemisfério, fazendo com que a contribuição de x cancele, e o mesmo para y. Logo
\iint_{S} x\,dS = 0,\qquad \iint_{S} y\,dS = 0.
Assim
\iint_{S}(-x-y-z)\,dS = -\iint_{S}z\,dS.
Passo 5
Calcular \iint_{S} z\,dS usando coordenadas esféricas (mini-aula sobre parametrização):
Parametrização da esfera unitária: x=\sin\varphi\cos\theta,\; y=\sin\varphi\sin\theta,\; z=\cos\varphi.
O elemento de área da esfera de raio 1 é dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Para o hemisfério inferior temos \varphi variando de \pi/2 até \pi e \theta de 0 a 2\pi.
Calcular a integral de linha \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r} diretamente e verificar que dá \pi.
Determinar orientação da fronteira pelo regra da mão direita: como a normal escolhida aponta para z-negativo (polegar para baixo), os dedos se enrolam na fronteira no sentido horário quando visto de cima (eixo +z). Logo a curva C no plano z=0 deve ser percorrida no sentido horário.
Parametrização do círculo unitário no plano z=0, percorrido no sentido horário: