Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
; os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
determinando os extremos relativos, os pontos de inflexão, os intervalos de crescimento/decrescimento, os trechos de concavidade para cima e para baixo, e as inclinações das tangentes nos pontos de inflexão. Vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, achamos o domínio e a derivada primeira.
O domínio é dado por
O domínio é dado por
Logo
está definida em
.
Agora
Agora
Resolvendo
obtemos apenas
. Note que o denominador nunca se anula em
.
Passo 3
Para estudar o sinal de
:
- No domínio
, o numerador e o denominador . - Logo
para todo , com somente em .
Isso mostra que
é crescente em todo
e que em
há uma reta tangente horizontal, mas sem troca de sinal de
. Portanto não há extremos relativos.
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão:
Zeramos o numerador:
Testando o sinal de
em cada intervalo:
- Para
: e (côncavo para baixo). - Para
: e (côncavo para cima). - Para
: e (côncavo para baixo).
Logo há pontos de inflexão em
e
.
Passo 5
As retas tangentes nos pontos de inflexão têm inclinação
nesses
:
- Em
: . O ponto é e a reta tangente é horizontal. - Em
: O ponto é e a reta tangente é
Passo 6
Para esboçar o gráfico, reúna as informações:
- Domínio
com assíntota vertical em , pois quando . -
é crescente em todo o domínio. - Côncavo para baixo em
, ponto de inflexão em , côncavo para cima em , ponto de inflexão em , e novamente côncavo para baixo para . - Reta tangente horizontal em
e reta de inclinação em . - Para
, cresce sem assíntota horizontal.
Com isso, trace a assíntota vertical
, depois um ramo começando muito abaixo (à esquerda), subindo sempre, mudando de curvatura conforme descrito, passando por
e por
, e aumentando indefinidamente.
Resposta
O gráfico de
em
é crescente, sem extremos relativos, com assíntota vertical em
; pontos de inflexão em
côncavo para baixo em
e
, côncavo para cima em
; tangente horizontal em
e tangente de inclinação
em
.