Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
y=\ln \left(1+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
y = \ln\bigl(1 + x^3\bigr)
determinando os extremos relativos, os pontos de inflexão, os intervalos de crescimento/decrescimento, os trechos de concavidade para cima e para baixo, e as inclinações das tangentes nos pontos de inflexão. Vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro, achamos o domínio e a derivada primeira.
O domínio é dado por
1 + x^3 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > -1.
Logo f está definida em (-1,\infty).
Agora
y' = \frac{d}{dx}\ln(1 + x^3) = \frac{3x^2}{1 + x^3}.
Resolvendo y'=0 obtemos apenas x=0. Note que o denominador nunca se anula em (-1,\infty).

Passo 3

Para estudar o sinal de y':
  • No domínio (-1,\infty), o numerador 3x^2\ge0 e o denominador 1+x^3>0.
  • Logo y'\ge0 para todo x>-1, com y'=0 somente em x=0.
Isso mostra que f é crescente em todo (-1,\infty) e que em x=0 há uma reta tangente horizontal, mas sem troca de sinal de y'. Portanto não há extremos relativos.

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão:
y'' = \frac{d}{dx}\biggl(\frac{3x^2}{1+x^3}\biggr) = \frac{3x(2 - x^3)}{(1 + x^3)^2}.
Zeramos o numerador:
3x(2 - x^3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x^3=2\implies x = \sqrt[\,3]{2}.
Testando o sinal de y'' em cada intervalo:
  • Para -1<x<0: x<0 e 2-x^3>0 \Rightarrow y''<0 (côncavo para baixo).
  • Para 0<x<\sqrt[3]{2}: x>0 e 2-x^3>0 \Rightarrow y''>0 (côncavo para cima).
  • Para x>\sqrt[3]{2}: x>0 e 2-x^3<0 \Rightarrow y''<0 (côncavo para baixo).
Logo há pontos de inflexão em x=0 e x=\sqrt[3]{2}.

Passo 5

As retas tangentes nos pontos de inflexão têm inclinação y' nesses x:
  • Em x=0: y'(0)=0. O ponto é (0,\ln1)=(0,0) e a reta tangente é horizontal.
  • Em x=\sqrt[3]{2}: y'\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr) = \frac{3(\sqrt[3]{2})^2}{1+(\sqrt[3]{2})^3} = \frac{3\,2^{2/3}}{1+2} = 2^{2/3}.O ponto é \bigl(\sqrt[3]{2},\ln3\bigr) e a reta tangente é y - \ln3 = 2^{2/3}\bigl(x - \sqrt[3]{2}\bigr).

Passo 6

Para esboçar o gráfico, reúna as informações:
  • Domínio (-1,\infty) com assíntota vertical em x=-1, pois y\to-\infty quando x\to-1^+.
  • f é crescente em todo o domínio.
  • Côncavo para baixo em (-1,0), ponto de inflexão em (0,0), côncavo para cima em \bigl(0,\sqrt[3]{2}\bigr), ponto de inflexão em \bigl(\sqrt[3]{2},\ln3\bigr), e novamente côncavo para baixo para x>\sqrt[3]{2}.
  • Reta tangente horizontal em (0,0) e reta de inclinação 2^{2/3} em \bigl(\sqrt[3]{2},\ln3\bigr).
  • Para x\to\infty, y\sim3\ln x cresce sem assíntota horizontal.
Com isso, trace a assíntota vertical x=-1, depois um ramo começando muito abaixo (à esquerda), subindo sempre, mudando de curvatura conforme descrito, passando por (0,0) e por \bigl(\sqrt[3]{2},\ln3\bigr), e aumentando indefinidamente.

Resposta

O gráfico de y=\ln(1+x^3) em (-1,\infty) é crescente, sem extremos relativos, com assíntota vertical em x=-1; pontos de inflexão em
(0,0)\quad\text{e}\quad\bigl(\sqrt[3]{2},\ln3\bigr);
côncavo para baixo em (-1,0) e (\sqrt[3]{2},\infty), côncavo para cima em (0,\sqrt[3]{2}); tangente horizontal em (0,0) e tangente de inclinação 2^{2/3} em \bigl(\sqrt[3]{2},\ln3\bigr).

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