Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
y=\operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço de
f(x)=\arctan\!\Bigl(\frac{x-1}{x+1}\Bigr),
determinando extremos relativos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade e a inclinação da reta tangente no(s) ponto(s) de inflexão. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem para isso.

Passo 2

Domínio e assíntotas. O denominador em \frac{x-1}{x+1} obriga x\neq -1.
1. Quando x\to -1^-, \tfrac{x-1}{x+1}\to +\infty e, portanto, f(x)\to \pi/2.
2. Quando x\to -1^+, \tfrac{x-1}{x+1}\to -\infty e, portanto, f(x)\to -\pi/2.
Logo há assíntota vertical em x=-1.
Para x\to\pm\infty,
\frac{x-1}{x+1}\to1 \quad\Longrightarrow\quad f(x)\to\arctan(1)=\frac{\pi}{4},
ou seja, assíntota horizontal y=\pi/4.

Passo 3

Monotonicidade. Calculemos
f'(x)=\frac{1}{1+\bigl(\frac{x-1}{x+1}\bigr)^2}\cdot\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{x-1}{x+1}\Bigr) =\frac{1}{x^2+1},
pois a derivada de \frac{x-1}{x+1} é \tfrac{2}{(x+1)^2} e 1+(\tfrac{x-1}{x+1})^2=\frac{2(x^2+1)}{(x+1)^2}.
Como \frac1{x^2+1}>0 para todo x, conclui-se que f é estritamente crescente em cada ramo do domínio (-\infty,-1) e (-1,\infty). Não há extremos relativos.

Passo 4

Concavidade e inflexão. A segunda derivada é
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl((x^2+1)^{-1}\Bigr) =-2x\,(x^2+1)^{-2}.
  • Se x<0, então -2x>0 e f''(x)>0: concavidade para cima.
  • Se x>0, então -2x<0 e f''(x)<0: concavidade para baixo.
    Houve troca de sinal em x=0, logo ponto de inflexão em
\bigl(0,f(0)\bigr) =\Bigl(0,\arctan(-1)\Bigr) =\Bigl(0,-\tfrac{\pi}{4}\Bigr).

Passo 5

Reta tangente no ponto de inflexão x=0. A inclinação é
m=f'(0)=\frac1{0^2+1}=1.
Como f(0)=-\pi/4, a equação da tangente é
y - \bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1\,(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y = x - \frac{\pi}{4}.

Passo 6

Esboço do gráfico.
  • Dois ramos em (-\infty,-1) e (-1,\infty), ambos crescentes.
  • Assíntota vertical em x=-1, com f\to\pi/2 ao entrar pela esquerda e f\to-\pi/2 ao sair pela direita.
  • Assíntota horizontal única y=\pi/4 em x\to\pm\infty.
  • Ponto de inflexão em \bigl(0,-\tfrac{\pi}{4}\bigr), onde a concavidade muda de cima para baixo e a reta tangente é y=x-\frac{\pi}{4}.
  • Passa por (1,0) pois \tfrac{1-1}{1+1}=0.
    Concavidade para cima em (-\infty,0)\setminus\{-1\}, e para baixo em (0,\infty).

Resposta

Veja abaixo o esboço do gráfico, juntando todas as informações acima:
         y
     \(\pi\)/\(2\) |                    (ramo crescente)
         |
  \(\pi\)/\(4\)  ———————— Assíntota horizontal
         |                    (ramo decrescente)
  \(0\bullet\)(\(1,0\))    \(\bullet\) A(\(0\),–\(\pi\)/\(4\))
         |      /  
–\(\pi\)/\(4\) ——————/————— Reta tangente \(y=x\)–\(\pi\)/\(4\)
         /    / 
–\(\pi\)/\(2\) |       |              (ramo crescente a partir de –\(\pi\)/\(2\))
        –\(10\)      x
Assíntota vertical em x = 1

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