Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
; os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado pede o esboço de
determinando extremos relativos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade e a inclinação da reta tangente no(s) ponto(s) de inflexão. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem para isso.
Passo 2
Domínio e assíntotas. O denominador em
obriga
.
. Quando
,
e, portanto,
.
. Quando
,
e, portanto,
.
Logo há assíntota vertical em .
Para ,
Logo há assíntota vertical em
Para
ou seja, assíntota horizontal
.
Passo 3
Monotonicidade. Calculemos
pois a derivada de
é
e
.
Como para todo
, conclui-se que
é estritamente crescente em cada ramo do domínio
e
. Não há extremos relativos.
Como
Passo 4
Concavidade e inflexão. A segunda derivada é
- Se
, então e : concavidade para cima. - Se
, então e : concavidade para baixo.
Houve troca de sinal em, logo ponto de inflexão em
Passo 5
Reta tangente no ponto de inflexão
. A inclinação é
Como
, a equação da tangente é
Passo 6
Esboço do gráfico.
- Dois ramos em
e , ambos crescentes. - Assíntota vertical em
, com ao entrar pela esquerda e ao sair pela direita. - Assíntota horizontal única
em . - Ponto de inflexão em
, onde a concavidade muda de cima para baixo e a reta tangente é . - Passa por
pois .
Concavidade para cima em, e para baixo em .
Resposta
Veja abaixo o esboço do gráfico, juntando todas as informações acima:
y
\(\pi\)/\(2\) | (ramo crescente)
|
\(\pi\)/\(4\) ———————— Assíntota horizontal
| (ramo decrescente)
\(0\bullet\)(\(1,0\)) \(\bullet\) A(\(0\),–\(\pi\)/\(4\))
| /
–\(\pi\)/\(4\) ——————/————— Reta tangente \(y=x\)–\(\pi\)/\(4\)
/ /
–\(\pi\)/\(2\) | | (ramo crescente a partir de –\(\pi\)/\(2\))
–\(10\) x
Assíntota vertical em x
–