Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
y=2 x-\operatorname{tg} x, \quad-\pi / 2<x<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede, para
\bullet Encontrar os extremos relativos de f.
\bullet Identificar os pontos de inflexão.
\bullet Determinar onde f é crescente/decrescente.
\bullet Determinar onde f é côncava para cima/para baixo e a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão.
O conteúdo usado será: derivada primeira para monotonicidade e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão. A função é
f(x)=2x-\tan x,\quad -\tfrac\pi2<x<\tfrac\pi2.

Passo 2

Calcule a derivada primeira e ache os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x-\tan x\bigr)=2-\operatorname{sec}^2 x.
Para extremos, resolvemos
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{sec}^2 x=2\quad\Longrightarrow\quad\cos^2 x=\tfrac12\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\tfrac\pi4.
Avalie f nesses pontos:
f\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=2\cdot\tfrac\pi4-\tan\tfrac\pi4=\tfrac\pi2-1,\qquad f\bigl(-\tfrac\pi4\bigr)=2\cdot\bigl(-\tfrac\pi4\bigr)-\tan\bigl(-\tfrac\pi4\bigr)=-\tfrac\pi2+1.

Passo 3

Classifique os extremos usando a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2-\operatorname{sec}^2 x\bigr)=-2\operatorname{sec}^2 x\tan x.
Em x=\tfrac\pi4, temos \tan\tfrac\pi4=1 e \operatorname{sec}^2\tfrac\pi4=2, logo
f''\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=-2\cdot2\cdot1=-4<0
é um máximo local em \bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi2-1\bigr).
Em x=-\tfrac\pi4, \tan(-\tfrac\pi4)=-1, \operatorname{sec}^2(-\tfrac\pi4)=2, então
f''\bigl(-\tfrac\pi4\bigr)=-2\cdot2\cdot(-1)=4>0
é um mínimo local em \bigl(-\tfrac\pi4,-\tfrac\pi2+1\bigr).

Passo 4

Monotonicidade em cada intervalo do domínio:
f'(x)=2-\operatorname{sec}^2 x>0\iff\operatorname{sec}^2 x<2\iff|\cos x|>\tfrac1{\sqrt2}\iff|x|<\tfrac\pi4.
Portanto
\bullet f é crescente em \bigl(-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr).
\bullet f é decrescente em \bigl(-\tfrac\pi2,-\tfrac\pi4\bigr) e em \bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\bigr).

Passo 5

Pontos de inflexão e concavidade:
f''(x)=-2\tan x\operatorname{sec}^2 x=0\iff\tan x=0\iff x=0.
Verificando o sinal de f'':
\bullet Se x<0, \tan x<0 \Longrightarrow f''(x)>0: concavidade para cima em \bigl(-\tfrac\pi2,0\bigr).
\bullet Se x>0, \tan x>0 \Longrightarrow f''(x)<0: concavidade para baixo em \bigl(0,\tfrac\pi2\bigr).
Logo x=0 é ponto de inflexão.
A inclinação da reta tangente em x=0 é
f'(0)=2-\operatorname{sec}^2(0)=2-1=1,
e f(0)=0, então a reta tangente é y=x.

Resposta

Os principais elementos do esboço de y=2x-\tan x em \bigl(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr) são:
(a) Máximo local em \bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi2-1\bigr).
(b) Mínimo local em \bigl(-\tfrac\pi4,-\tfrac\pi2+1\bigr).
(c) Ponto de inflexão em (0,0) com reta tangente y=x.
(d) Crescente em \bigl(-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr), decrescente em \bigl(-\tfrac\pi2,-\tfrac\pi4\bigr) e em \bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\bigr).
(e) Côncavo para cima em \bigl(-\tfrac\pi2,0\bigr) e côncavo para baixo em \bigl(0,\tfrac\pi2\bigr).
(f) Assíntotas verticais em x=\pm\tfrac\pi2, com f(x)\to+\infty quando x\to-\tfrac\pi2^+ e f(x)\to-\infty quando x\to\tfrac\pi2^-.

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