Faça um esboço do gráfico da função dada para t \geq 0
t u(t-1)

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da função para t\ge 0:
f(t)=t\,u(t-1).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função a desenhar é f(t)=t\,u(t-1).
  • O domínio que nos interessa é t\ge 0.
  • O símbolo u(\cdot) aparece no enunciado (ou seja, há uma função degrau deslocada por 1). Neste passo apenas listei o que há no enunciado; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

O que é o u(t-1)\) que aparece na função? Vou explicar com calma, como se estivéssemos no quadro juntos. - \(u\) é a função degrau unitária (função de Heaviside). A definição mais usada em sinais é: \[u(t-a)= \begin{cases} 0, & t<a,\\[4pt] 1, & t\ge a. \end{cases}
Aqui o parâmetro a\] desloca o degrau para a direita (se \(a>0). No nosso caso a=1, então u(t-1) é zero antes de t=1 e é um depois (ou igual) a t=1.
  • Observação sobre t=1: algumas referências atribuem u(0)=\tfrac12 por convenção matemática, mas em aplicações e na maioria dos exercícios de provas costuma-se tomar u(0)=1. Vou adotar a convenção prática u(t-a)=1 em t=a, ou seja u(0)=1. Se sua prova usar a outra convenção, basta ajustar o valor pontual em t=1; o esboço geral não muda.]

Passo 3

Aplicando a definição do degrau ao nosso produto t\,u(t-1)\), temos comportamento peça a peça: - Para \(t<1\): \(u(t-1)=0\). Então \[f(t)=t\cdot 0 = 0.
  • Para t\ge 1: u(t-1)=1. Então f(t)=t\cdot 1 = t.
Colocando isso de forma direta e clara (esta é a expressão peça a peça que vamos desenhar):
f(t)=t\,u(t-1)= \begin{cases} 0, & 0\le t < 1,\\[4pt] t, & t\ge 1. \end{cases}
Repare que escrevi 0\le t<1\] porque o enunciado pede o gráfico para \(t\ge 0: para t<0 não precisamos desenhar.]

Passo 4

Interpretação geométrica e comportamento:
  • No intervalo 0\le t<1: f(t)=0. Isso é uma reta horizontal sobre o eixo t (eixo x) com valor y=0.
  • Em t=1: pela convenção adotada f(1)=1. Há um salto (discontinuidade) em t=1 porque imediatamente à esquerda f(1^-)=0 e à direita f(1^+)=1. O salto tem tamanho 1.
  • Para t\ge 1: f(t)=t. É a reta de inclinação 1 que passa pela origem, mas só desenhamos a partir de t=1; portanto o ramo é a parte da reta y=t que começa em (1,1) e cresce linearmente para a direita. Exemplos de pontos fáceis: f(1,5)=1{,}5,\; f(2)=2,\; f(3)=3.

Passo 5

Como esboçar passo a passo no papel (ou na prova) — instruções práticas:
  1. Desenhe os eixos: eixo horizontal t (com marcações em 0 e 1) e eixo vertical f(t).
  2. Entre t=0 e t=1 desenhe a linha horizontal y=0.
  3. Em t=1 marque um ponto fechado (se você usa u(0)=1) em (1,1). À esquerda de 1 não há ponto elevado — é zero.
  4. Para t>1 desenhe a reta y=t (inclinação +1) começando em (1,1) e indo para a direita. Não desenhe a reta y=t para t<1; só para t\ge 1.
  5. Se quiser anotar a descontinuidade, escreva que f(1^-)=0 e f(1^+)=1.

Passo 6

Características finais e comentários motivadores:
  • A função é nula no primeiro trecho [0,1) e depois “liga” e cresce linearmente.
  • No exame, se pedirem comportamento assintótico, escreva que f(t) cresce sem limite conforme t\to\infty porque para t\ge 1 temos f(t)=t.
  • Um jeito rápido de pensar mentalmente: o degrau deslocado “liga” a função multiplicada por ele a partir de t=1. Antes do liga, é zero; depois do liga, é a função original (aqui t).

Resposta

Para 0\le t<1: f(t)=0
Para t\ge 1: f(t)=t (em particular, f(1)=1 pela convenção adotada)

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