Faça um esboço do gráfico da função dada para t \geq 0 u(t-1)-3 u(t-4)-4 u(t-5)
Passo 1
O enunciado dá a função
f(t)=u(t-1)-3\,u(t-4)-4\,u(t-5)
e pede um esboço do gráfico para [0,\infty), isto é, para t\ge 0.\n
Informações relevantes do enunciado:
A função é formada por somas e multiplicações da função degrau unitário u(\cdot).
As transições possíveis acontecem nos instantes em que os argumentos dos degraus mudam de sinal: nos pontos t=1, t=4 e t=5.
Precisamos descrever o valor de f(t) em cada intervalo entre esses pontos e indicar os saltos (discontinuidades) nesses instantes.
Passo 2
O que é o degrau unitário u(t)\) e como funcionam os degraus deslocados\n
Definição prática (que usamos em problemas de sinais e sistemas):\n
\[u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t\ge 0. \end{cases}
Explicação didática e exemplo: se eu tenho u(t-a)\], então esse degrau é zero enquanto \(t<a e torna-se 1 para t\ge a. Por exemplo, u(t-2)=0 para t<2 e u(t-2)=1 para t\ge 2.\n
No nosso caso temos três degraus deslocados: u(t-1), u(t-4) e u(t-5). Cada um “liga” em t=1, t=4 e t=5, respectivamente.]
Passo 3
Determinar os valores de f(t) em cada intervalo definido por \{0,1,4,5,\infty\}\n
Vamos dividir o eixo t em intervalos onde os degraus são constantes: [0,1), [1,4), [4,5) e [5,\infty). Em cada intervalo substituímos u(\cdot) por 0 ou 1 conforme a definição do degrau.
Para t\in[0,1):\n
u(t-1)=0,\quad u(t-4)=0,\quad u(t-5)=0,
logo
f(t)=0-3\cdot 0-4\cdot 0=0.
Para t\in[1,4):\n
u(t-1)=1,\quad u(t-4)=0,\quad u(t-5)=0,
logo
f(t)=1-3\cdot 0-4\cdot 0=1.
Para t\in[4,5):\n
u(t-1)=1,\quad u(t-4)=1,\quad u(t-5)=0,
logo
f(t)=1-3\cdot 1-4\cdot 0=1-3=-2.
Para t\in[5,\infty):\n
u(t-1)=1,\quad u(t-4)=1,\quad u(t-5)=1,
logo
f(t)=1-3\cdot 1-4\cdot 1=1-3-4=-6.
Passo 4
Registrar a função na forma por partes (que é a forma mais útil para desenhar)\n
Com base no passo anterior, a função pode ser escrita como
Analisar os saltos (discontinuidades) em t=1, t=4 e t=5\n
Em t=1: o valor à esquerda é 0 (para t\to 1^-) e o valor à direita é 1 (para t\to 1^+), então há um salto de +1.\n
Em t=4: o valor à esquerda é 1 e o valor à direita é -2, então há um salto de -3 (isso vem do termo -3u(t-4) que “liga” em t=4).\n
Em t=5: o valor à esquerda é -2 e o valor à direita é -6, então há um salto de -4 (devido ao termo -4u(t-5)).\n
Observação sobre pontos: como adotamos u(t-a)=1 em t=a, os pontos t=1, t=4 e t=5 tomam os valores das imagens à direita: 1, -2 e -6, respectivamente. No esboço, marque esses pontos com ponto cheio na altura correspondente.
Passo 6
Instruções práticas para desenhar o esboço (passo a passo do traço)\n
Desenhe os eixos t (horizontal) e f (vertical). Marque t=0, t=1, t=4 e t=5 no eixo horizontal.\n
No intervalo t\in[0,1) trace uma linha horizontal em f=0.\n
Em t=1 faça um salto para f=1 e trace a linha horizontal f=1 para t\in[1,4). Coloque ponto cheio em (1,1).\n
Em t=4 faça um salto para f=-2 e trace a linha horizontal f=-2 para t\in[4,5). Coloque ponto cheio em (4,-2).\n
Em t=5 faça um salto para f=-6 e trace a linha horizontal f=-6 para t\ge 5. Coloque ponto cheio em (5,-6).\n
Não coloque círculos abertos na esquerda dos pontos 1,4,5 a menos que queira explicitar os limites à esquerda; o importante é que o desenho mostre claramente os saltos e os níveis constantes entre eles.\n
Pequeno resumo visual mental: níveis horizontais em alturas 0, 1, -2 e -6, com saltos em t=1,4,5 de magnitudes +1, -3 e -4.