Faça um esboço do gráfico da função dada para t \geq 0
\sin (t-\pi) u(t-\pi)

Passo 1

O enunciado pede que eu faça um esboço do gráfico da função para t \geq 0:
\sin(t-\pi)\,u(t-\pi).
Informações dadas importantes:
  • A variável independente é t e estamos interessados apenas em t\geq 0.
  • Aparece a função seno deslocada \sin(t-\pi).
  • Aparece o degrau unitário u(t-\pi), que “liga” a função apenas a partir de t=\pi.
    As perguntas implícitas são: como é o comportamento da função em todo o intervalo t\geq 0 e como desenhar seu gráfico (marcando pontos-chave)?

Passo 2

Entendendo o degrau unitário u(t-\pi):
  • Por definição comum, u(t-a)=0 se t<a e u(t-a)=1 se t>a. O valor exatamente em t=a pode ser tomado como 0, 1 ou 1/2 dependendo da convenção; para esboço prático tomamos u(a)=1 ou simplesmente observamos continuidade do produto quando for o caso.
  • Então u(t-\pi)=0 para t<\pi e u(t-\pi)=1 para t>\pi. Isso significa que a parte \sin(t-\pi) só “aparece” a partir de t=\pi.

Passo 3

Consequência imediata do passo anterior para t\geq 0:
  • Para 0 \le t < \pi temos u(t-\pi)=0, logo o produto é zero nessa região.
  • Para t>\pi temos u(t-\pi)=1, logo o produto é simplesmente \sin(t-\pi) nessa região.
    Portanto a função é nula até t=\pi e, a partir de t=\pi, é igual a \sin(t-\pi).

Passo 4

Escrevendo isso de forma clara como função por partes:
f(t)=\sin(t-\pi)\,u(t-\pi)= \begin{cases} 0, & 0 \le t < \pi,\\[4pt] \sin(t-\pi), & t \ge \pi. \end{cases}
Observação sobre t=\pi: \sin(\pi-\pi)=\sin 0=0, então o valor em t=\pi é 0 (a função é contínua em t=\pi).]

Passo 5

Uma identidade trigonométrica útil (mostro o passo para você lembrar na prova):
Usando \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta com \alpha=t e \beta=\pi,
\sin(t-\pi)=\sin t\cos\pi-\cos t\sin\pi=\sin t\cdot(-1)-\cos t\cdot 0=-\sin t.
Logo, para qualquer t, \sin(t-\pi)=-\sin t. Em particular, para t\ge\pi podemos também ver o trecho não-nulo como -\sin t. Ambas as formas são equivalentes; usar \sin(t-\pi) facilita identificar o início da onda em t=\pi.

Passo 6

Identificando pontos-chave para desenhar o esboço (anote-os no rascunho da prova):
  • Zeros de \sin(t-\pi) (além dos zeros triviais antes de \pi): resolver t-\pi=k\pi t=\pi+k\pi. Para k=0,1,2,\dots obtemos t=\pi,2\pi,3\pi,\dots.
  • Máximos: \sin(t-\pi)=1 quando t-\pi=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi, ou seja t=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi. O primeiro máximo (no intervalo t\ge\pi) é em t=\tfrac{3\pi}{2} com valor 1.
  • Mínimos: \sin(t-\pi)=-1 quando t-\pi=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi, ou seja t=\tfrac{5\pi}{2}+2k\pi. O primeiro mínimo aparece em t=\tfrac{5\pi}{2} com valor -1.
  • Período: ainda é 2\pi; amplitude: 1.

Passo 7

Descrição qualitativa do esboço (como desenhar passo a passo no rascunho):
  1. No eixo t, marque 0, \pi, \tfrac{3\pi}{2}, 2\pi.
  2. Para 0\le t<\pi desenhe a linha constante f(t)=0.
  3. Em t=\pi a função vale 0 (ponto de continuação). A partir daí desenhe uma onda seno iniciando em zero, subindo até f(\tfrac{3\pi}{2})=1, voltando a zero em t=2\pi, descendo até -1 em t=\tfrac{5\pi}{2}, e assim por diante com período 2\pi.
  4. Não há componente para t<\pi (está “apagada” pelo degrau). A partir de \pi a oscilação continua indefinidamente.

Passo 8

Observações finais e dica rápida para prova
  • A função é contínua em t=\pi porque \sin(0)=0; portanto no esboço você pode desenhar o ponto em t=\pi preenchido em zero.
  • Para esboçar rápido: pense “zero até \pi, depois uma senoide padrão deslocada para a direita por \pi (ou equivalente: -\sin t ligado a partir de \pi)”.
  • Se quiser checar sinais: entre \pi e 2\pi a função é positiva no primeiro meia-período (atinge +1 em 3\pi/2), etc.

Resposta

f(t)=\sin(t-\pi)\,u(t-\pi)= \begin{cases} 0, & 0 \le t < \pi,\\[4pt] \sin(t-\pi), & t \ge \pi. \end{cases}]

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