Faça um esboço do gráfico da função dada para
Passo 1
O enunciado pede que eu faça um esboço do gráfico da função para
:
Informações dadas importantes:
- A variável independente é
e estamos interessados apenas em . - Aparece a função seno deslocada
. - Aparece o degrau unitário
, que “liga” a função apenas a partir de .
As perguntas implícitas são: como é o comportamento da função em todo o intervaloe como desenhar seu gráfico (marcando pontos-chave)?
Passo 2
Entendendo o degrau unitário
:
- Por definição comum,
se e se . O valor exatamente em pode ser tomado como , ou dependendo da convenção; para esboço prático tomamos ou simplesmente observamos continuidade do produto quando for o caso. - Então
para e para . Isso significa que a parte só “aparece” a partir de .
Passo 3
Consequência imediata do passo anterior para
:
- Para
temos , logo o produto é zero nessa região. - Para
temos , logo o produto é simplesmente nessa região.
Portanto a função é nula atée, a partir de , é igual a .
Passo 4
Escrevendo isso de forma clara como função por partes:
Observação sobre
:
, então o valor em
é
(a função é contínua em
).]
Passo 5
Uma identidade trigonométrica útil (mostro o passo para você lembrar na prova):
Usando com
e
,
Usando
Logo, para qualquer
,
. Em particular, para
podemos também ver o trecho não-nulo como
. Ambas as formas são equivalentes; usar
facilita identificar o início da onda em
.
Passo 6
Identificando pontos-chave para desenhar o esboço (anote-os no rascunho da prova):
- Zeros de
(além dos zeros triviais antes de ): resolver dá . Para obtemos . - Máximos:
quando , ou seja . O primeiro máximo (no intervalo ) é em com valor . - Mínimos:
quando , ou seja . O primeiro mínimo aparece em com valor . - Período: ainda é
; amplitude: .
Passo 7
Descrição qualitativa do esboço (como desenhar passo a passo no rascunho):
- No eixo
, marque , , , . - Para
desenhe a linha constante . - Em
a função vale (ponto de continuação). A partir daí desenhe uma onda seno iniciando em zero, subindo até , voltando a zero em , descendo até em , e assim por diante com período . - Não há componente para
(está “apagada” pelo degrau). A partir de a oscilação continua indefinidamente.
Passo 8
Observações finais e dica rápida para prova
- A função é contínua em
porque ; portanto no esboço você pode desenhar o ponto em preenchido em zero. - Para esboçar rápido: pense “zero até
, depois uma senoide padrão deslocada para a direita por (ou equivalente: ligado a partir de )”. - Se quiser checar sinais: entre
e a função é positiva no primeiro meia-período (atinge em ), etc.