Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, você quer fazer o esboço do gráfico da função
. Vamos usar conceitos de funções racionais para isso. Precisamos encontrar o domínio, assíntotas, interceptos e o comportamento da função para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os reais menos
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar as assíntotas verticais. São as linhas onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero. Já vimos que
e
fazem o denominador zero, então temos assíntotas verticais em:
Passo 4
Vamos determinar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Olhando a função:
Dividindo termos de maior grau, temos:
Então, a assíntota horizontal é:
Passo 5
Vamos achar os interceptos com os eixos. Primeiro, o intercepto com o eixo
ocorre quando
:
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Para o intercepto com o eixo
, colocamos
:
Isso só ocorre quando o numerador é zero, ou seja,
. Então, o intercepto com o eixo
também é
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função perto das assíntotas verticais.
-
Próximo a
: - Se
se aproxima de 2 pela direita, o denominador fica positivo e muito pequeno, então tende a . - Se
se aproxima de 2 pela esquerda, o denominador fica negativo e muito pequeno, então tende a .
- Se
-
Próximo a
: - Se
se aproxima de -2 pela direita, o denominador fica positivo e muito pequeno, então tende a . - Se
se aproxima de -2 pela esquerda, o denominador fica negativo e muito pequeno, então tende a .
- Se
Passo 7
Agora, vamos resumir tudo para fazer o esboço do gráfico:
- Domínio:
, - Assíntotas verticais:
e - Assíntota horizontal:
- Interceptos:
- Comportamento próximo às assíntotas: Conforme descrito no passo anterior
Resposta
O esboço do gráfico da função
possui assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e intercepta os eixos no ponto
. O gráfico se aproxima das assíntotas conforme
tende a
e se aproxima de
quando
vai para
.