Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede um esboço (um desenho rápido) do gráfico da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão explícita da função é
. - Não há outras condições ou restrições: o domínio natural da função é todo
.
Passo 2
Domínio, continuidade e diferenciabilidade (coisa rápida, mas importante).
- A função exponencial
está definida, é contínua e derivável para todo . - Soma e divisão por
preservam essas propriedades. Logo está definida, é contínua e infinitamente diferenciável em todo .
Passo 3
Simetria da função — por que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Calcule :
Calcule
Como
para todo
, a função é par (função par). Consequência prática: o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical
; basta desenhar o ramo para
e espelhar para
.
Passo 4
Derivada primeira — monotonicidade e pontos críticos.
- Derivada de
é e de é . Assim
- Para encontrar pontos onde a inclinação é zero, resolvemos
:
Há portanto um único ponto crítico em
.
- Sinal de
: para temos então (função crescente); para tem (função decrescente). Assim é um mínimo local. Juntando com a simetria e o comportamento extremo (ver passo 6), será o mínimo global.
Passo 5
Derivada segunda — convexidade.
- Calcule
- Observação:
para todo (porque soma de exponenciais positiva). Então é estritamente convexa em toda reta. Isso reforça que o ponto crítico é mínimo global e que o gráfico é “em forma de U” (mas com crescimento exponencial nas caudas, não polinomial).
Passo 6
Valor no mínimo e comportamento assintótico nas extremidades.
- Valor em
:
Então o mínimo global é
localizado em
.
- Limites nas extremidades (comportamento para desenho):
Portanto o gráfico cresce sem limite tanto para
quanto para
— as duas caudas sobem exponencialmente.
Passo 7
Série de Taylor (ajuda a entender a forma perto de zero).
A expansão em série de potências centrada em é
A expansão em série de potências centrada em
ou seja, só aparecem potências pares. Isso mostra que, perto de
,
se parece com a parábola
, confirmando o mínimo em
e a curvatura positiva (convexidade).
Passo 8
Alguns valores numéricos para orientar o esboço (usar estes pontos no desenho).
-
. -
-
Pelos pares,e .
Também inclinações:
Passo 9
Como fazer o esboço passo a passo (prático, para a prova — desenhe sem calculadora).
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto
— esse é o mínimo global e o eixo corta o gráfico aí. - Como a função é par, desenhe apenas para
e depois espelhe para . - Marque pontos de referência:
e (e seus espelhos negativos). - No ponto
a tangente é horizontal (porque ). A curva sobe lentamente perto de (parabólico) e depois cresce cada vez mais rápido — nas caudas tem crescimento exponencial. - Garanta que a curva seja estritamente convexa (sem “parte côncava”), ou seja, forma um “U” suave que aumenta aceleradamente para as duas pontas.
- Indique setas nas extremidades para mostrar que
quando .
Passo 10
Resumo em linguagem amigável (para gravar na cabeça antes da prova).
-
é a função cosseno hiperbólico : par, infinitamente diferenciável, convexa. - Mínimo global em
com tangente horizontal. - Cresce exponencialmente em ambas as direções; sem assíntotas horizontais.
- Esboce um “U” simétrico com caudas subindo rapidamente, passando pelos pontos aproximados dados.
Resposta
Esboço: curva simétrica em relação ao eixo
, mínimo global em
com tangente horizontal, valores
,
; a curva é estritamente convexa e cresce exponencialmente para
.