Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}

Passo 1

O enunciado pede um esboço (um desenho rápido) do gráfico da função
f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão explícita da função é \displaystyle f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
  • Não há outras condições ou restrições: o domínio natural da função é todo \mathbb{R}.

Passo 2

Domínio, continuidade e diferenciabilidade (coisa rápida, mas importante).
  • A função exponencial e^{x} está definida, é contínua e derivável para todo x\in\mathbb{R}.
  • Soma e divisão por 2 preservam essas propriedades. Logo f está definida, é contínua e infinitamente diferenciável em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Simetria da função — por que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Calcule f(-x):
f(-x)=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=f(x).
Como f(-x)=f(x) para todo x, a função é par (função par). Consequência prática: o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical y; basta desenhar o ramo para x\ge0 e espelhar para x\le0.

Passo 4

Derivada primeira — monotonicidade e pontos críticos.
  • Derivada de e^{x} é e^{x} e de e^{-x} é -e^{-x}. Assim
f'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
  • Para encontrar pontos onde a inclinação é zero, resolvemos f'(x)=0:
\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{x}=e^{-x}\quad\Longrightarrow\quad e^{2x}=1\quad\Longrightarrow\quad x=0.
Há portanto um único ponto crítico em x=0.
  • Sinal de f'(x): para x>0 temos e^{x}>e^{-x} então f'(x)>0 (função crescente); para x<0 tem f'(x)<0 (função decrescente). Assim x=0 é um mínimo local. Juntando com a simetria e o comportamento extremo (ver passo 6), será o mínimo global.

Passo 5

Derivada segunda — convexidade.
  • Calcule
f''(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=f(x).
  • Observação: f''(x)=f(x)>0 para todo x (porque soma de exponenciais positiva). Então f é estritamente convexa em toda reta. Isso reforça que o ponto crítico x=0 é mínimo global e que o gráfico é “em forma de U” (mas com crescimento exponencial nas caudas, não polinomial).

Passo 6

Valor no mínimo e comportamento assintótico nas extremidades.
  • Valor em x=0:
f(0)=\frac{e^{0}+e^{0}}{2}=\frac{1+1}{2}=1.
Então o mínimo global é f(0)=1 localizado em x=0.
  • Limites nas extremidades (comportamento para desenho):
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}\bigl(1+e^{-2x}\bigr)}{2}=+\infty.
\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{-x}\bigl(e^{2x}+1\bigr)}{2}=+\infty.
Portanto o gráfico cresce sem limite tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty — as duas caudas sobem exponencialmente.

Passo 7

Série de Taylor (ajuda a entender a forma perto de zero).
A expansão em série de potências centrada em 0 é
f(x)=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{6}}{6!}+\cdots,
ou seja, só aparecem potências pares. Isso mostra que, perto de 0, f(x) se parece com a parábola 1+\dfrac{x^{2}}{2}, confirmando o mínimo em x=0 e a curvatura positiva (convexidade).

Passo 8

Alguns valores numéricos para orientar o esboço (usar estes pontos no desenho).
  • f(0)=1.
  • f(1)=\dfrac{e^{1}+e^{-1}}{2}\approx\dfrac{2,7182818+0,3678794}{2}\approx 1,5430806.
  • f(2)=\dfrac{e^{2}+e^{-2}}{2}\approx\dfrac{7,3890561+0,1353353}{2}\approx 3,7621957.
    Pelos pares, f(-1)=f(1) e f(-2)=f(2).
Também inclinações:
f'(1)=\frac{e^{1}-e^{-1}}{2}\approx 1,1752012,\qquad f'(-1)\approx -1,1752012.

Passo 9

Como fazer o esboço passo a passo (prático, para a prova — desenhe sem calculadora).
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o ponto (0,1) — esse é o mínimo global e o eixo y corta o gráfico aí.
  3. Como a função é par, desenhe apenas para x\ge0 e depois espelhe para x\le0.
  4. Marque pontos de referência: (1,\,1,543) e (2,\,3,762) (e seus espelhos negativos).
  5. No ponto (0,1) a tangente é horizontal (porque f'(0)=0). A curva sobe lentamente perto de 0 (parabólico) e depois cresce cada vez mais rápido — nas caudas tem crescimento exponencial.
  6. Garanta que a curva seja estritamente convexa (sem “parte côncava”), ou seja, forma um “U” suave que aumenta aceleradamente para as duas pontas.
  7. Indique setas nas extremidades para mostrar que f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.

Passo 10

Resumo em linguagem amigável (para gravar na cabeça antes da prova).
  • f(x) é a função cosseno hiperbólico \operatorname{cosh} x: par, infinitamente diferenciável, convexa.
  • Mínimo global em (0,1) com tangente horizontal.
  • Cresce exponencialmente em ambas as direções; sem assíntotas horizontais.
  • Esboce um “U” simétrico com caudas subindo rapidamente, passando pelos pontos aproximados dados.

Resposta

Esboço: curva simétrica em relação ao eixo y, mínimo global em (0,1) com tangente horizontal, valores f(1)\approx1,543, f(2)\approx3,762; a curva é estritamente convexa e cresce exponencialmente para x\to\pm\infty.

Exercícios relacionados