Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=3-\left(\frac{1}{2}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: “Faça um esboço do gráfico” da função \,f(x)=3-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}.
  • Informações dadas: a expressão explícita de f(x). Não há mais dados (ex.: escala de eixos), então vamos obter as propriedades essenciais (domínio, imagem, assíntotas, interceptos, monotonicidade, concavidade) e alguns pontos para desenhar o esboço com segurança.

Passo 2

Domínio e natureza da função (passo didático sobre expoente real):
  • A função x\mapsto\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio de f é todo o conjunto dos reais: \, \text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • A função exponencial com base 0<\tfrac{1}{2}<1 é uma função que decresce quando x aumenta (explicação: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}=e^{x\ln(1/2)} e \ln(1/2)<0, então o expoente fica mais negativo à medida que x cresce).
  • Aqui temos f(x)=3-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}, ou seja, pegamos a exponencial \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}, multiplicamos por -1 e somamos 3. Isso é uma reflexão vertical seguida de um deslocamento vertical para cima. Vamos explorar consequências concretas disso.

Passo 3

Limites e assíntota horizontal (por que há assíntota):
  • Calculemos o limite quando x\to+\infty. Como \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\to0 quando x\to+\infty, então
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(3-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\right)=3-0=3.
Isto mostra que existe uma assíntota horizontal y=3 à direita; o gráfico se aproxima de y=3 quando x cresce muito.
  • Para x\to-\infty, temos \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\to+\infty (porque (1/2)^{x}=2^{-x}), logo
\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(3-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\right)=3-(+\infty)=-\infty.
Assim, à esquerda o gráfico desce sem limite.

Passo 4

Interceptos com os eixos (cálculo passo a passo):
  • Intercepto em y (quando x=0):
f(0)=3-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=3-1=2.
Então o ponto \,(0,2) está no gráfico.
  • Intercepto em x (resolver f(x)=0):
0=3-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\quad\Rightarrow\quad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}=3.
Para isolar x usamos logaritmo. Tomando log natural em ambos os lados:
x\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\ln 3 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\ln 3}{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, podemos escrever
x=-\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\approx -\dfrac{1{,}0986}{0{,}6931}\approx -1{,}585.
Logo há um único intercepto em x aproximadamente em x\approx -1{,}585.

Passo 5

Monotonicidade (usar derivada e explicar do zero):
  • Vamos derivar f. Regra: a derivada de a^{x} é a^{x}\ln a. Aplicando:
f'(x)=-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
  • Observação: \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2<0. Então o produto -\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) é positivo, porque há um menos multiplicando um número negativo. Mais diretamente:
f'(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\ln 2>0\quad\text{para todo }x.
  • Conclusão: f é estritamente crescente em todo \mathbb{R}. Intuição: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x} decresce, mas o sinal negativo transforma essa queda em subida; depois somar 3 só desloca verticalmente.

Passo 6

Concavidade (segunda derivada) e interpretação:
  • Segunda derivada:
f''(x)=-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\left(\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\right)^{2}.
  • Aqui \left(\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\right)^{2}>0 e \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}>0, então f''(x)<0 para todo x.
  • Conclusão: a curva é côncava para baixo em toda a reta real (sempre “curvada para baixo”, como uma concha invertida). Não há ponto de inflexão.

Passo 7

Tabela de pontos úteis para desenhar (cálculo direto e aproximado — faça sem calculadora usando potências de 2):
  • Calcule \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x} e então f(x)=3-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}:
    • x=-3:\\ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-3}=2^{3}=8\Rightarrow f(-3)=3-8=-5.
    • x=-2:\\ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}=4\Rightarrow f(-2)=3-4=-1.
    • x=-1:\\ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}=2\Rightarrow f(-1)=3-2=1.
    • x=0:\\ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=1\Rightarrow f(0)=2.
    • x=1:\\ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}=\tfrac{1}{2}\Rightarrow f(1)=3-\tfrac{1}{2}=2{,}5.
    • x=2:\\ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}\Rightarrow f(2)=3-\tfrac{1}{4}=2{,}75.
    • x=3:\\ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{8}\Rightarrow f(3)=3-\tfrac{1}{8}=2{,}875.
  • Esses pontos mostram claramente a subida da esquerda para a direita, a aproximação para y=3 e os valores negativos à esquerda grande.

Passo 8

Como fazer o esboço (instruções práticas passo a passo — sem escala rígida):
  1. Trace dois eixos ortogonais x e y.
  2. Desenhe a linha horizontal y=3 como assíntota (traço pontilhado, por exemplo).
  3. Marque o ponto (0,2) (intercepto em y) e o ponto de raiz x\approx -1{,}585 no eixo x.
  4. Plote os pontos obtidos na tabela: (-3,-5),\,(-2,-1),\,(-1,1),\,(0,2),\,(1,2{,}5),\,(2,2{,}75).
  5. Ligue os pontos com uma curva suave que:
    • Seja crescente,
    • Tenha concavidade para baixo,
    • Tenda para -\infty à esquerda (desce muito quando x vai para -\infty),
    • Aproxime-se da reta y=3 por baixo à medida que x\to+\infty.
  6. Confira se o desenho passa por (0,2) e fica sempre abaixo de y=3 (porque \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}>0 implica f(x)<3 para todo x).
Dica motivacional: faça o esboço primeiro com poucos pontos (por exemplo -2,-1,0,1,2) e depois refine adicionando -3 e 3 para perceber melhor a curva; você vai ver que fica bem rápido.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem (contradomínio efetivo): \;(-\infty,3)
Assíntota horizontal: y=3 (quando x\to+\infty)
Intercepto em y: f(0)=2 (ponto (0,2))
Intercepto em x: x=-\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\approx -1{,}585
Monotonicidade: f'(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\ln 2>0 para todo x (função estritamente crescente)
Concavidade: f''(x)<0 para todo x (côncava para baixo)

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