Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: “Faça um esboço do gráfico” da função
. - Informações dadas: a expressão explícita de
. Não há mais dados (ex.: escala de eixos), então vamos obter as propriedades essenciais (domínio, imagem, assíntotas, interceptos, monotonicidade, concavidade) e alguns pontos para desenhar o esboço com segurança.
Passo 2
Domínio e natureza da função (passo didático sobre expoente real):
- A função
está definida para todo . Logo o domínio de é todo o conjunto dos reais: . - A função exponencial com base
é uma função que decresce quando aumenta (explicação: e , então o expoente fica mais negativo à medida que cresce). - Aqui temos
, ou seja, pegamos a exponencial , multiplicamos por e somamos . Isso é uma reflexão vertical seguida de um deslocamento vertical para cima. Vamos explorar consequências concretas disso.
Passo 3
Limites e assíntota horizontal (por que há assíntota):
- Calculemos o limite quando
. Como quando , então
Isto mostra que existe uma assíntota horizontal
à direita; o gráfico se aproxima de
quando
cresce muito.
- Para
, temos (porque ), logo
Assim, à esquerda o gráfico desce sem limite.
Passo 4
Interceptos com os eixos (cálculo passo a passo):
- Intercepto em
(quando ):
Então o ponto
está no gráfico.
- Intercepto em
(resolver ):
Para isolar
usamos logaritmo. Tomando log natural em ambos os lados:
Como
, podemos escrever
Logo há um único intercepto em
aproximadamente em
.
Passo 5
Monotonicidade (usar derivada e explicar do zero):
- Vamos derivar
. Regra: a derivada de é . Aplicando:
- Observação:
. Então o produto é positivo, porque há um menos multiplicando um número negativo. Mais diretamente:
- Conclusão:
é estritamente crescente em todo . Intuição: decresce, mas o sinal negativo transforma essa queda em subida; depois somar só desloca verticalmente.
Passo 6
Concavidade (segunda derivada) e interpretação:
- Segunda derivada:
- Aqui
e , então para todo . - Conclusão: a curva é côncava para baixo em toda a reta real (sempre “curvada para baixo”, como uma concha invertida). Não há ponto de inflexão.
Passo 7
Tabela de pontos úteis para desenhar (cálculo direto e aproximado — faça sem calculadora usando potências de 2):
- Calcule
e então : -
- Esses pontos mostram claramente a subida da esquerda para a direita, a aproximação para
e os valores negativos à esquerda grande.
Passo 8
Como fazer o esboço (instruções práticas passo a passo — sem escala rígida):
- Trace dois eixos ortogonais
e . - Desenhe a linha horizontal
como assíntota (traço pontilhado, por exemplo). - Marque o ponto
(intercepto em ) e o ponto de raiz no eixo . - Plote os pontos obtidos na tabela:
. - Ligue os pontos com uma curva suave que:
- Seja crescente,
- Tenha concavidade para baixo,
- Tenda para
à esquerda (desce muito quando vai para ), - Aproxime-se da reta
por baixo à medida que .
- Confira se o desenho passa por
e fica sempre abaixo de (porque implica para todo ).
Dica motivacional: faça o esboço primeiro com poucos pontos (por exemplo
) e depois refine adicionando
e
para perceber melhor a curva; você vai ver que fica bem rápido.
Resposta
Domínio:
Imagem (contradomínio efetivo):
Assíntota horizontal: (quando
)
Intercepto em :
(ponto
)
Intercepto em :
Monotonicidade: para todo
(função estritamente crescente)
Concavidade: para todo
(côncava para baixo)
Imagem (contradomínio efetivo):
Assíntota horizontal:
Intercepto em
Intercepto em
Monotonicidade:
Concavidade: