Determine o valor da constante
para que o domínio da função
dada por
seja o conjunto dos números reais.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores da constante
tais que o domínio da função
seja todo o conjunto dos números reais.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Lembrete importante: o logaritmo está definido apenas quando o argumento é estritamente positivo. Portanto queremos que
para todo
.
Passo 2
Vamos traduzir a condição do passo anterior em uma condição sobre a parábola
. Como o coeficiente de
é
, a parábola abre para cima e tem um valor mínimo (o vértice). Para que
para todo
é suficiente e necessário que a parábola não tenha raízes reais, ou seja, que o discriminante seja negativo. Apresentando o discriminante:
- Para uma quadrática
o discriminante é .
Aqui, e . Portanto
Passo 3
A condição de não ter raízes reais é
. Então resolvemos
Fatorando,
Um produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos, isto é, quando
está entre as raízes
e
. Logo
Passo 4
Verificação das extremidades (casos-limite): se
então
que zera em
, e
é indefinido; se
então
que zera em
, também proibido. Portanto os pontos
e
não servem — confirmando que a condição é estrita
.
Passo 5
Comentário alternativo (intuição pela forma): completando o quadrado tem-se
o mínimo ocorre em
e vale
. Exigir que esse mínimo seja positivo dá a mesma inequação
confirmando o resultado.