Determine o valor da constante k para que o domínio da função f dada por \log \left(x^{2}+k x+k\right) seja o conjunto dos números reais.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores da constante k tais que o domínio da função \log\!\bigl(x^{2}+k x+k\bigr) seja todo o conjunto dos números reais.
Informações fornecidas:
  • A função é \log\!\bigl(x^{2}+k x+k\bigr).
  • Lembrete importante: o logaritmo está definido apenas quando o argumento é estritamente positivo. Portanto queremos que
x^{2}+k x+k>0
para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos traduzir a condição do passo anterior em uma condição sobre a parábola q(x)=x^{2}+k x+k. Como o coeficiente de x^{2} é 1>0, a parábola abre para cima e tem um valor mínimo (o vértice). Para que q(x)>0 para todo x\in\mathbb{R} é suficiente e necessário que a parábola não tenha raízes reais, ou seja, que o discriminante seja negativo. Apresentando o discriminante:
  • Para uma quadrática ax^{2}+bx+c o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac.
    Aqui a=1, b=k e c=k. Portanto
\Delta = k^{2}-4\cdot1\cdot k = k^{2}-4k.

Passo 3

A condição de não ter raízes reais é \Delta<0. Então resolvemos
k^{2}-4k<0.
Fatorando,
k(k-4)<0.
Um produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos, isto é, quando k está entre as raízes 0 e 4. Logo
0<k<4.

Passo 4

Verificação das extremidades (casos-limite): se k=0 então q(x)=x^{2} que zera em x=0, e \log(0) é indefinido; se k=4 então q(x)=x^{2}+4x+4=(x+2)^{2} que zera em x=-2, também proibido. Portanto os pontos k=0 e k=4 não servem — confirmando que a condição é estrita 0<k<4.

Passo 5

Comentário alternativo (intuição pela forma): completando o quadrado tem-se
x^{2}+k x+k=\left(x+\frac{k}{2}\right)^{2}+\left(k-\frac{k^{2}}{4}\right),
o mínimo ocorre em x=-\dfrac{k}{2} e vale k-\dfrac{k^{2}}{4}. Exigir que esse mínimo seja positivo dá a mesma inequação
k-\frac{k^{2}}{4}>0\quad\Longleftrightarrow\quad 0<k<4,
confirmando o resultado.

Resposta

0<k<4

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