Faça um esboço do gráfico das seguintes funções
.
Passo 1
O enunciado pede: faça um esboço do gráfico da função
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar: a expressão algébrica de
e que precisamos desenhar/interpretar o gráfico dessa função no plano cartesiano.
Passo 2
Determinar o domínio da função (onde ela está definida). A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Então precisamos que
Resolvendo isso obtemos
Portanto o domínio é
. Isso significa que o gráfico começa em
e não existe para
.
Passo 3
Achar o ponto inicial (o extremo esquerdo) e o intercepto com o eixo
.
- No ponto mais à esquerda do domínio temos
. Substituindo:
Então o gráfico passa por
e esse é o ponto inicial (o gráfico não existe à esquerda desse ponto).
- Intercepto com o eixo
ocorre em . Calculamos:
Logo o gráfico passa por
.
Passo 4
Verificar se existem interceptos com o eixo
. Resolver
:
Isto é impossível porque
. Portanto não há raiz real nem intercepto com o eixo
.
Passo 5
Analisar monotonicidade (se cresce ou decresce) e o comportamento da inclinação. Calculamos a derivada para entender isso. Derivada de
é
. Aqui
e
. Assim:
Como
para
, temos
em todo o domínio interior, logo a função é estritamente crescente em
.
Observações sobre a inclinação:
Observações sobre a inclinação:
- Quando
temos , então : o gráfico sai com inclinação muito acentuada (quase vertical) no ponto . - Quando
temos : o gráfico vai ficando cada vez mais horizontal (aplana).
Passo 6
Analisar concavidade. Derivando novamente:
Como
para
, a função é côncava para baixo no domínio. Ou seja, a curva cresce mas “abre para baixo” (vai ficando menos inclinada).
Passo 7
Fazer o esboço por transformações, passo a passo (método prático para desenhar sem calculadora):
- Comece com a função base
. Pontos conhecidos dessa base: . - Primeiro transforme por
: isso desloca o gráfico uma unidade para a esquerda. Os pontos tornam-se . - Depois multiplique por
: estica verticalmente por fator . Pontos viram . - Finalmente some
: deslocamento vertical para cima de . Pontos finais: .
Trace esses pontos no plano e una-os por uma curva suave, começando em, subindo rapidamente no início e depois mais lentamente, sempre côncava para baixo.
Passo 8
Dicas práticas para o esboço:
- Marque o ponto inicial
claramente — é o extremo esquerdo. - Marque também
(intercepto em ) e outro ponto como ou para controlar a curvatura. - Desenhe a curva crescente, com inclinação grande perto de
e que vai se tornando mais plana à medida que aumenta. - Não há assimptotas horizontais finitas; para
a função cresce indefinidamente, porém devagar.
Passo 9
Um lembrete geral (fórmula de transformação útil): uma função do tipo
é obtida a partir de
deslocando horizontalmente por
(para direita se
, para esquerda se
), depois esticando/compactando verticalmente por
(e invertendo se
), e por fim deslocando verticalmente por
. No nosso caso
,
,
.
Resposta
Domínio:
Ponto inicial (extremo esquerdo):
Intercepto com o eixo :
Não existe intercepto com o eixo .
A função é crescente e côncava para baixo; a derivada é .
Pontos para esboçar: .
Ponto inicial (extremo esquerdo):
Intercepto com o eixo
Não existe intercepto com o eixo
A função é crescente e côncava para baixo; a derivada é
Pontos para esboçar: