Faça um esboço do gráfico das seguintes funções
k(x)=2 \sqrt{x+1}+1.

Passo 1

O enunciado pede: faça um esboço do gráfico da função
k(x)=2\sqrt{x+1}+1.
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar: a expressão algébrica de k(x) e que precisamos desenhar/interpretar o gráfico dessa função no plano cartesiano.

Passo 2

Determinar o domínio da função (onde ela está definida). A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Então precisamos que
x+1 \ge 0.
Resolvendo isso obtemos
x \ge -1.
Portanto o domínio é \,[-1,\infty). Isso significa que o gráfico começa em x=-1 e não existe para x<-1.

Passo 3

Achar o ponto inicial (o extremo esquerdo) e o intercepto com o eixo y.
  • No ponto mais à esquerda do domínio temos x=-1. Substituindo:
k(-1)=2\sqrt{-1+1}+1=2\sqrt{0}+1=1.
Então o gráfico passa por (-1,1) e esse é o ponto inicial (o gráfico não existe à esquerda desse ponto).
  • Intercepto com o eixo y ocorre em x=0. Calculamos:
k(0)=2\sqrt{0+1}+1=2\cdot1+1=3.
Logo o gráfico passa por (0,3).

Passo 4

Verificar se existem interceptos com o eixo x. Resolver k(x)=0:
2\sqrt{x+1}+1=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x+1}=-\tfrac{1}{2}.
Isto é impossível porque \sqrt{x+1}\ge 0. Portanto não há raiz real nem intercepto com o eixo x.

Passo 5

Analisar monotonicidade (se cresce ou decresce) e o comportamento da inclinação. Calculamos a derivada para entender isso. Derivada de \sqrt{u} é \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}. Aqui u=x+1 e u'=1. Assim:
k'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}}.
Como \sqrt{x+1}>0 para x>-1, temos k'(x)>0 em todo o domínio interior, logo a função é estritamente crescente em (-1,\infty).
Observações sobre a inclinação:
  • Quando x\to -1^+ temos \sqrt{x+1}\to 0^+, então k'(x)\to +\infty: o gráfico sai com inclinação muito acentuada (quase vertical) no ponto (-1,1).
  • Quando x\to \infty temos k'(x)\to 0: o gráfico vai ficando cada vez mais horizontal (aplana).

Passo 6

Analisar concavidade. Derivando novamente:
k''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)=-\frac{1}{2(x+1)^{3/2}}.
Como k''(x)<0 para x>-1, a função é côncava para baixo no domínio. Ou seja, a curva cresce mas “abre para baixo” (vai ficando menos inclinada).

Passo 7

Fazer o esboço por transformações, passo a passo (método prático para desenhar sem calculadora):
  • Comece com a função base y=\sqrt{x}. Pontos conhecidos dessa base: (0,0),(1,1),(4,2),(9,3).
  • Primeiro transforme por x\mapsto x+1: isso desloca o gráfico uma unidade para a esquerda. Os pontos tornam-se (-1,0),(0,1),(3,2),(8,3).
  • Depois multiplique por 2: estica verticalmente por fator 2. Pontos viram (-1,0),(0,2),(3,4),(8,6).
  • Finalmente some +1: deslocamento vertical para cima de 1. Pontos finais: (-1,1),(0,3),(3,5),(8,7).
    Trace esses pontos no plano e una-os por uma curva suave, começando em (-1,1), subindo rapidamente no início e depois mais lentamente, sempre côncava para baixo.

Passo 8

Dicas práticas para o esboço:
  • Marque o ponto inicial (-1,1) claramente — é o extremo esquerdo.
  • Marque também (0,3) (intercepto em y) e outro ponto como (3,5) ou (8,7) para controlar a curvatura.
  • Desenhe a curva crescente, com inclinação grande perto de (-1,1) e que vai se tornando mais plana à medida que x aumenta.
  • Não há assimptotas horizontais finitas; para x\to\infty a função cresce indefinidamente, porém devagar.

Passo 9

Um lembrete geral (fórmula de transformação útil): uma função do tipo
y=a\sqrt{x-h}+k
é obtida a partir de y=\sqrt{x} deslocando horizontalmente por h (para direita se h>0, para esquerda se h<0), depois esticando/compactando verticalmente por a (e invertendo se a<0), e por fim deslocando verticalmente por k. No nosso caso a=2, h=-1, k=1.

Resposta

Domínio: [-1,\infty)
Ponto inicial (extremo esquerdo): (-1,1)
Intercepto com o eixo y: (0,3)
Não existe intercepto com o eixo x.
A função é crescente e côncava para baixo; a derivada é k'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}.
Pontos para esboçar: (-1,1),\;(0,3),\;(3,5),\;(8,7).

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