Calcule a integral indefinida
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função integranda é o produto de um polinômio em (que é
) e uma exponencial
. Não há limites (é indefinida), então a resposta terá uma constante de integração
.
Informações dadas: a função integranda é o produto de um polinômio em
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: a fórmula de integração por partes. Vou lembrar e justificar essa fórmula rapidinho. A regra do produto para derivadas diz que, para duas funções
e
,
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
onde escrevemos
e
. Como a integral da derivada é o próprio produto
, rearranjando obtemos a fórmula
Aqui
e
são funções de
;
e
são seus diferenciais.
Passo 3
Escolha de
e
: uma estratégia prática é escolher
como a parte que se simplifica ao derivar (por exemplo um polinômio) e
como a parte que é fácil de integrar. Então escolhemos
Motivo: derivando
fica simples (
), e integrar
também é fácil.
Passo 4
Calcular
e
. Diferenciando
obtemos
Para obter
precisamos integrar
:
Usamos a regra geral
(aqui
), logo
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes
, temos
Escrevendo de forma mais clara:
Passo 6
Avaliar a integral restante
usando novamente
. Assim
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Verificação rápida (importante na prova): derivando a resposta obtemos de volta o integrando. Seja
Pelo produto,
como queria. Então a antiderivada está correta.