Calcule a integral indefinida
\int t e^{2 t} \mathrm{dt}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int t e^{2t}\,\mathrm{d}t.
Informações dadas: a função integranda é o produto de um polinômio em t (que é t) e uma exponencial \mathrm{e}^{2t}. Não há limites (é indefinida), então a resposta terá uma constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: a fórmula de integração por partes. Vou lembrar e justificar essa fórmula rapidinho. A regra do produto para derivadas diz que, para duas funções u e v,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(u v)=u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}.
Integrando ambos os lados em relação a t obtemos
\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(u v)\,\mathrm{d}t=\int u\,\mathrm{d}v+\int v\,\mathrm{d}u,
onde escrevemos \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t e \mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t. Como a integral da derivada é o próprio produto u v, rearranjando obtemos a fórmula
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u.
Aqui u e v são funções de t; \mathrm{d}u e \mathrm{d}v são seus diferenciais.

Passo 3

Escolha de u e \mathrm{d}v: uma estratégia prática é escolher u como a parte que se simplifica ao derivar (por exemplo um polinômio) e \mathrm{d}v como a parte que é fácil de integrar. Então escolhemos
u = t,\qquad \mathrm{d}v = \mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{d}t.
Motivo: derivando u fica simples ( \mathrm{d}u=\mathrm{d}t), e integrar \mathrm{e}^{2t} também é fácil.

Passo 4

Calcular \mathrm{d}u e v. Diferenciando u obtemos
\mathrm{d}u = \mathrm{d}t.
Para obter v precisamos integrar \mathrm{d}v:
v=\int \mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{d}t.
Usamos a regra geral \int \mathrm{e}^{a t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{a}\mathrm{e}^{a t} (aqui a=2), logo
v = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2t}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes \int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u, temos
\int t\,\mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{d}t = t\cdot\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2t} - \int \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{d}t.
Escrevendo de forma mais clara:
\int t\,\mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{d}t = \frac{t}{2}\mathrm{e}^{2t} - \frac{1}{2}\int \mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{d}t.

Passo 6

Avaliar a integral restante \int \mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{d}t usando novamente \int \mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2t}. Assim
\int t\,\mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{d}t = \frac{t}{2}\mathrm{e}^{2t} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2t} + C.
Simplificando os coeficientes:
\int t\,\mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{d}t = \left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{2t} + C.

Passo 7

Verificação rápida (importante na prova): derivando a resposta obtemos de volta o integrando. Seja
F(t)=\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{2t}.
Pelo produto,
F'(t)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2t}+\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\right)\cdot 2\mathrm{e}^{2t} =\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2t}+\left(t-\frac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{2t}=t\mathrm{e}^{2t},
como queria. Então a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{2t}+C

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