Faça um esboço e identifique os seguintes conjuntos:
{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Im}(z-1)=|z+1|}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de z\in\mathbb{C} tais que
\operatorname{Im}(z-1)=|z+1|.
Para isso, vamos escrever z=x+iy, com x,y\in\mathbb{R}, e traduzir a condição em coordenadas reais.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy temos \;z-1=(x-1)+iy, então
\operatorname{Im}(z-1)=y,
e \;z+1=(x+1)+iy, logo
|z+1|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}.
A condição passa a ser y=\sqrt{(x+1)^2+y^2}.

Passo 3

Como \sqrt{(x+1)^2+y^2}\ge0, precisamos de y\ge0. Elevando ao quadrado (válido pois ambos os lados são não-negativos):
y^2=(x+1)^2+y^2.
Cancelando y^2 em ambos os lados, fica
(x+1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1.

Passo 4

Voltando à condição original e sabendo x=-1, temos
y=\sqrt{0+y^2}=\lvert y\rvert,
de onde novamente exige-se y\ge0. Assim o conjunto de soluções é
\{\,x+iy\in\mathbb{C} \mid x=-1,\;y\ge0\}.

Passo 5

Em o plano complexo, isso corresponde à semirreta vertical que sai do ponto -1 (em y=0) e vai para cima, sobre a reta \Re(z)=-1.

Resposta

O conjunto é
\{\,z\in\mathbb{C}\mid \Re(z)=-1,\\ \Im(z)\ge0\},
isto é, a semirreta vertical em x=-1 com y\ge0.

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