Seja
uma função. Demonstre que
é contínua se, e somente se,
é fechado, para todo fechado
.
Passo 1
O enunciado pertence à topologia em espaços métricos (aqui
com a métrica usual) e pede para mostrar a equivalência entre:
-
é contínua (definição topológica: pré-imagem de todo aberto é aberto). - Para todo conjunto fechado
, a pré-imagem é um conjunto fechado.
Vamos usar que, em qualquer espaço topológico, fechado é complemento de aberto e que pré-imagem comuta com complemento:
Passo 2
Suponha
contínua e seja
fechado. Então o complementar
é aberto. Como
é contínua,
é aberto em
. Mas
Logo
é aberto, o que implica que
é fechado.
Passo 3
Agora suponha que para todo fechado
, o conjunto
seja fechado. Seja
um aberto qualquer. Então
é fechado, de modo que por hipótese
é fechado. Mas
Como
é fechado, seu complementar
é aberto. Isso vale para todo aberto
, portanto
é contínua.
Resposta
Demonstra-se assim que
é contínua se, e somente se, para todo fechado
, a pré-imagem
é fechada.