Seja f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} uma função. Demonstre que
f é contínua se, e somente se, f^{-1}(F) é fechado, para todo fechado F \subset \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado pertence à topologia em espaços métricos (aqui \mathbb{C} com a métrica usual) e pede para mostrar a equivalência entre:
  1. f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C} é contínua (definição topológica: pré-imagem de todo aberto é aberto).
  2. Para todo conjunto fechado F\subset\mathbb{C}, a pré-imagem f^{-1}(F) é um conjunto fechado.
Vamos usar que, em qualquer espaço topológico, fechado é complemento de aberto e que pré-imagem comuta com complemento:
f^{-1}\bigl(\mathbb{C}\setminus A\bigr) =\mathbb{C}\setminus f^{-1}(A).

Passo 2

Suponha f contínua e seja F\subset\mathbb{C} fechado. Então o complementar
U=\mathbb{C}\setminus F
é aberto. Como f é contínua,
f^{-1}(U)
é aberto em \mathbb{C}. Mas
f^{-1}(U) =f^{-1}\bigl(\mathbb{C}\setminus F\bigr) =\mathbb{C}\setminus f^{-1}(F).
Logo \mathbb{C}\setminus f^{-1}(F) é aberto, o que implica que f^{-1}(F) é fechado.

Passo 3

Agora suponha que para todo fechado F\subset\mathbb{C}, o conjunto f^{-1}(F) seja fechado. Seja U\subset\mathbb{C} um aberto qualquer. Então
F=\mathbb{C}\setminus U
é fechado, de modo que por hipótese f^{-1}(F) é fechado. Mas
f^{-1}(F) =f^{-1}\bigl(\mathbb{C}\setminus U\bigr) =\mathbb{C}\setminus f^{-1}(U).
Como f^{-1}(F) é fechado, seu complementar f^{-1}(U) é aberto. Isso vale para todo aberto U, portanto f é contínua.

Resposta

Demonstra-se assim que f é contínua se, e somente se, para todo fechado F\subset\mathbb{C}, a pré-imagem f^{-1}(F) é fechada.

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