Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
R:\left\{\begin{array}{l}y \leq 2 x \\\ y+x \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para fazer um esboço (desenhar a região do plano) que satisfaz o sistema de inequações
R:\begin{cases} y \leq 2x,\\[4pt] y + x \geq 1. \end{cases}
Informações fornecidas:
  • As duas condições são inequações lineares em x e y.
  • As curvas de fronteira correspondentes são as retas obtidas ao trocar as desigualdades por igualdades: y=2x e y+x=1.
    O objetivo é localizar, no plano xy, o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades e fazer um esboço desta região.]

Passo 2

Traçar as retas de fronteira (transformar cada inequação em igualdade e identificar coeficientes):
  • Para y \leq 2x a reta de fronteira é
y=2x.
Explicação da reta: o coeficiente angular (inclinação) é 2 e o coeficiente linear (intercepto em y) é 0. Portanto essa reta passa pela origem (0,0) e sobe rapidamente (para um avanço de 1 em x sobe 2 em y).
  • Para y+x \geq 1 escrevemos como
y=1-x.
Explicação da reta: o coeficiente angular é -1 e o intercepto em y é 1. Então essa reta cruza o eixo y em (0,1) e o eixo x em (1,0).
Para esboçar: desenhe os eixos, marque os pontos indicados (0,0), (0,1), (1,0) e trace as retas com as inclinações indicadas.

Passo 3

Determinar para cada reta qual lado é a região válida (meio-plano) usando um ponto teste simples:
  • Para y \leq 2x: testar o ponto (1,0).
\text{verificar } 0 \leq 2\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad 0 \leq 2 \\ (\text{verdadeiro}).
Portanto o ponto (1,0) pertence ao meio-plano definido por y \leq 2x. Como (1,0) está “abaixo” da reta y=2x para x=1, concluímos que a região correspondente a y \leq 2x é o conjunto de pontos por baixo (ou sobre) da reta y=2x.
  • Para y+x \geq 1 (isto é, y \geq 1-x): testar o ponto (0,0).
\text{verificar } 0 \geq 1 \quad\Rightarrow\quad \text{falso}.
Logo (0,0) não pertence ao meio-plano y+x\geq1. Testando (1,1): 1+1\geq1 é verdadeiro, e (1,1) está “acima” da reta y=1-x. Portanto a região válida é o conjunto de pontos por cima (ou sobre) da reta y=1-x.

Passo 4

Encontrar o ponto de interseção das duas retas (vértice possível da região):
Resolver o sistema
\begin{cases} y=2x,\\[4pt] y=1-x. \end{cases}
Substituindo y=2x em 2x=1-x obtemos
2x=1-x \quad\Rightarrow\quad 3x=1 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{3}.
Então
y=2x=2\cdot \tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
O ponto de interseção é \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\bigr). Esse será o vértice da região de interseção (quando as duas fronteiras se cruzam).]

Passo 5

Descrever algebraicamente a região interseção e deduzir a condição em x:
Para pertencer a R um ponto (x,y) precisa satisfazer simultaneamente
1-x \le y \le 2x.
Para que exista algum y que satisfaça essa dupla desigualdade, é necessário que a extremidade inferior seja menor ou igual à superior:
1-x \le 2x \quad\Rightarrow\quad 1 \le 3x \quad\Rightarrow\quad x \ge \tfrac{1}{3}.
Portanto a região não existe para x<\tfrac{1}{3}; para x=\tfrac{1}{3} temos apenas o ponto \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\bigr); para x>\tfrac{1}{3} existe um segmento vertical de pontos que satisfaz 1-x \le y \le 2x. Assim a região é um “côrte” (fenda) entre as duas retas que começa no vértice \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\bigr) e se estende infinitamente para a direita, limitada superiormente por y=2x e inferiormente por y=1-x.

Passo 6

Verificações com pontos para confirmar o esboço:
  • Ponto (1,1): verificar 1 \le 2\cdot 1 e 1+1\ge1. Ambos verdadeiros, logo (1,1) está na região; fica à direita do vértice e entre as retas.
  • Ponto (0,0): falha em y+x\ge1, logo não está na região; isto confirma que a região não existe para x<\tfrac{1}{3}.
    Estas verificações ajudam a sombrear corretamente o lado entre as retas e a evitar áreas erradas.

Passo 7

Instruções práticas para o esboço no papel (passo a passo):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Desenhe a reta y=2x: passe por (0,0) e por (1,2); traço contínuo (desigualdade é \le, então a fronteira está incluída).
  3. Desenhe a reta y=1-x: passe por (0,1) e (1,0); traço contínuo (desigualdade é \ge, fronteira incluída).
  4. Marque o ponto de interseção \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\bigr).
  5. Sombreie a região entre as duas retas, do vértice \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\bigr) estendendo-se para a direita (isto é, apenas onde x\ge\tfrac{1}{3}), incluindo as linhas de fronteira.
  6. Para checar, confirme que (1,1) está dentro da faixa sombreada e (0,0) está fora.

Resposta

\displaystyle R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1-x \le y \le 2x\} \quad (equivalente a \displaystyle \{(x,y)\mid x\ge\tfrac{1}{3},\;1-x\le y\le 2x\}, vértice \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\bigr)).

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