Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede para fazer um esboço (desenhar a região do plano) que satisfaz o sistema de inequações
Informações fornecidas:
- As duas condições são inequações lineares em
e . - As curvas de fronteira correspondentes são as retas obtidas ao trocar as desigualdades por igualdades:
e .
O objetivo é localizar, no plano, o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades e fazer um esboço desta região.]
Passo 2
Traçar as retas de fronteira (transformar cada inequação em igualdade e identificar coeficientes):
- Para
a reta de fronteira é
Explicação da reta: o coeficiente angular (inclinação) é
e o coeficiente linear (intercepto em
) é
. Portanto essa reta passa pela origem
e sobe rapidamente (para um avanço de
em
sobe
em
).
- Para
escrevemos como
Explicação da reta: o coeficiente angular é
e o intercepto em
é
. Então essa reta cruza o eixo
em
e o eixo
em
.
Para esboçar: desenhe os eixos, marque os pontos indicados
,
,
e trace as retas com as inclinações indicadas.
Passo 3
Determinar para cada reta qual lado é a região válida (meio-plano) usando um ponto teste simples:
- Para
: testar o ponto .
Portanto o ponto
pertence ao meio-plano definido por
. Como
está “abaixo” da reta
para
, concluímos que a região correspondente a
é o conjunto de pontos por baixo (ou sobre) da reta
.
- Para
(isto é, ): testar o ponto .
Logo
não pertence ao meio-plano
. Testando
:
é verdadeiro, e
está “acima” da reta
. Portanto a região válida é o conjunto de pontos por cima (ou sobre) da reta
.
Passo 4
Encontrar o ponto de interseção das duas retas (vértice possível da região):
Resolver o sistema
Resolver o sistema
Substituindo
em
obtemos
Então
O ponto de interseção é
. Esse será o vértice da região de interseção (quando as duas fronteiras se cruzam).]
Passo 5
Descrever algebraicamente a região interseção e deduzir a condição em
:
Para pertencer a um ponto
precisa satisfazer simultaneamente
Para pertencer a
Para que exista algum
que satisfaça essa dupla desigualdade, é necessário que a extremidade inferior seja menor ou igual à superior:
Portanto a região não existe para
; para
temos apenas o ponto
; para
existe um segmento vertical de pontos que satisfaz
. Assim a região é um “côrte” (fenda) entre as duas retas que começa no vértice
e se estende infinitamente para a direita, limitada superiormente por
e inferiormente por
.
Passo 6
Verificações com pontos para confirmar o esboço:
- Ponto
: verificar e . Ambos verdadeiros, logo está na região; fica à direita do vértice e entre as retas. - Ponto
: falha em , logo não está na região; isto confirma que a região não existe para .
Estas verificações ajudam a sombrear corretamente o lado entre as retas e a evitar áreas erradas.
Passo 7
Instruções práticas para o esboço no papel (passo a passo):
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a reta
: passe por e por ; traço contínuo (desigualdade é , então a fronteira está incluída). - Desenhe a reta
: passe por e ; traço contínuo (desigualdade é , fronteira incluída). - Marque o ponto de interseção
. - Sombreie a região entre as duas retas, do vértice
estendendo-se para a direita (isto é, apenas onde ), incluindo as linhas de fronteira. - Para checar, confirme que
está dentro da faixa sombreada e está fora.