(
pontos) Encontre os máximos absolutos e mínimos absolutos da função
na placa triangular fechada e limitada pelas retas
e
no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os máximos absolutos e mínimos absolutos da função
na placa triangular fechada e limitada pelas retas
,
e
no primeiro quadrante.
Informações dadas e pontos importantes que extraí do enunciado:
- A função é
. - A região é o triângulo no primeiro quadrante limitado por:
-
(eixo ), -
(eixo ), -
(reta que intersecta os eixos).
-
- Interseções da reta com os eixos (peguei esses pontos resolvendo as equações das retas):
- Com
: → ponto . - Com
: → ponto .
- Com
- Logo os vértices do triângulo são
, e . - O que é pedido: os pontos onde
atinge o mínimo absoluto e o máximo absoluto sobre esse triângulo, e os respectivos valores de .
Passo 2
Plano de resolução (método a usar):
- Como
é contínua e a região é fechada e limitada (compacta), o Teorema do Valor Extremo garante que atinge mínimo e máximo absolutos nessa região. - Estratégia prática: verificar
- pontos críticos no interior da região (onde
), e - extremos ao longo das fronteiras (cada lado do triângulo), incluindo vértices.
- pontos críticos no interior da região (onde
- Explicação rápida do que é
: é o vetor gradiente com as derivadas parciais . Zerar o gradiente acha candidatos a extremos interiores.
Passo 3
Encontrar pontos críticos no interior:
- Calcular derivadas parciais:
- Igualando a zero:
- Resultado: único ponto crítico
. - Verificação de interior:
é um vértice da região (está na fronteira), não no interior. Mesmo assim é candidato (pontos da fronteira também serão verificados separadamente).
Passo 4
Análise da fronteira 1: segmento onde
com
variando de
a
.
- Restrição:
, para . - Função univariada
. Derivada . - Zeros de
em : . - Avaliar extremos candidatos (ponto crítico interno do segmento e extremos do intervalo):
-
. -
.
-
Passo 5
Análise da fronteira 2: segmento onde
com
variando de
a
.
- Restrição:
, para . - Função univariada
. Derivada . - Zeros de
em : . - Avaliar candidatos:
-
(já conhecido). -
.
-
Passo 6
Análise da fronteira 3: segmento sobre a reta
para
.
- Substituir
em : - Expandir:
portanto para . - Derivada:
- Zerar derivada:
Esse valor está no intervalo , logo é candidato. - Avaliar
em e nos extremos : -
→ ponto com . -
→ ponto com . -
Calcular passo a passo em frações:
-
Em decimal isso é \(0{,}8\). O ponto correspondente na reta é
\[y=-2\cdot\frac{4}{5}+2=-\frac{8}{5}+2=\frac{2}{5},\]
logo o ponto é \(\big(\tfrac{4}{5},\tfrac{2}{5}\big)\) com \(f=\tfrac{4}{5}\).
Passo 7
Comparar todos os candidatos e escolher mínimo e máximo absolutos:
- Pontos candidatos e valores
: -
: . -
: . -
: . -
: .
-
- O menor valor entre esses é
em . Portanto mínimo absoluto é em . - O maior valor entre esses é
em . Portanto máximo absoluto é em .
Resposta
Mínimo absoluto:
em
Máximo absoluto: em
Máximo absoluto: