( \mathbf{2 , 0} pontos) Encontre os máximos absolutos e mínimos absolutos da função
f(x, y)=x^{2}+y^{2}
na placa triangular fechada e limitada pelas retas x=0, y=0 e y=-2 x+2 no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os máximos absolutos e mínimos absolutos da função f(x,y)=x^{2}+y^{2} na placa triangular fechada e limitada pelas retas x=0, y=0 e y=-2x+2 no primeiro quadrante.
Informações dadas e pontos importantes que extraí do enunciado:
  • A função é \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}\;.
  • A região é o triângulo no primeiro quadrante limitado por:
    • x=0 (eixo y),
    • y=0 (eixo x),
    • y=-2x+2 (reta que intersecta os eixos).
  • Interseções da reta com os eixos (peguei esses pontos resolvendo as equações das retas):
    • Com x=0: y=-2\cdot0+2=2 → ponto (0,2).
    • Com y=0: 0=-2x+2\Rightarrow x=1 → ponto (1,0).
  • Logo os vértices do triângulo são (0,0), (0,2) e (1,0).
  • O que é pedido: os pontos onde f atinge o mínimo absoluto e o máximo absoluto sobre esse triângulo, e os respectivos valores de f.

Passo 2

Plano de resolução (método a usar):
  • Como f é contínua e a região é fechada e limitada (compacta), o Teorema do Valor Extremo garante que f atinge mínimo e máximo absolutos nessa região.
  • Estratégia prática: verificar
    1. pontos críticos no interior da região (onde \nabla f=0), e
    2. extremos ao longo das fronteiras (cada lado do triângulo), incluindo vértices.
  • Explicação rápida do que é \nabla f: \nabla f é o vetor gradiente com as derivadas parciais \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right). Zerar o gradiente acha candidatos a extremos interiores.

Passo 3

Encontrar pontos críticos no interior:
  • Calcular derivadas parciais: \frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
  • Igualando a zero: 2x=0,\qquad 2y=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,\; y=0.
  • Resultado: único ponto crítico (0,0).
  • Verificação de interior: (0,0) é um vértice da região (está na fronteira), não no interior. Mesmo assim é candidato (pontos da fronteira também serão verificados separadamente).

Passo 4

Análise da fronteira 1: segmento onde x=0 com y variando de 0 a 2.
  • Restrição: f(0,y)=0^{2}+y^{2}=y^{2}, para y\in[0,2].
  • Função univariada g(y)=y^{2}. Derivada g'(y)=2y.
  • Zeros de g' em [0,2]: y=0.
  • Avaliar extremos candidatos (ponto crítico interno do segmento e extremos do intervalo):
    • y=0\Rightarrow f(0,0)=0.
    • y=2\Rightarrow f(0,2)=4.

Passo 5

Análise da fronteira 2: segmento onde y=0 com x variando de 0 a 1.
  • Restrição: f(x,0)=x^{2}, para x\in[0,1].
  • Função univariada h(x)=x^{2}. Derivada h'(x)=2x.
  • Zeros de h' em [0,1]: x=0.
  • Avaliar candidatos:
    • x=0\Rightarrow f(0,0)=0 (já conhecido).
    • x=1\Rightarrow f(1,0)=1.

Passo 6

Análise da fronteira 3: segmento sobre a reta y=-2x+2 para x\in[0,1].
  • Substituir y em f: f(x,-2x+2)=x^{2}+(-2x+2)^{2}.
  • Expandir: (-2x+2)^{2}=4x^{2}-8x+4,portanto g(x):=f(x,-2x+2)=x^{2}+4x^{2}-8x+4=5x^{2}-8x+4,para x\in[0,1].
  • Derivada: g'(x)=10x-8.
  • Zerar derivada: 10x-8=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.Esse valor está no intervalo [0,1], logo é candidato.
  • Avaliar g em x=\tfrac{4}{5} e nos extremos x=0,1:
    • x=0\Rightarrow g(0)=4 → ponto (0,2) com f=4.
    • x=1\Rightarrow g(1)=5-8+4=1 → ponto (1,0) com f=1.
    • x=\tfrac{4}{5}\Rightarrow g\Big(\tfrac{4}{5}\Big)=5\Big(\tfrac{4}{5}\Big)^{2}-8\Big(\tfrac{4}{5}\Big)+4.Calcular passo a passo em frações: 5\cdot\frac{16}{25}=\frac{80}{25}=\frac{16}{5},\qquad -8\cdot\frac{4}{5}=-\frac{32}{5}.
g\Big(\tfrac{4}{5}\Big)=\frac{16}{5}-\frac{32}{5}+4=\!-\frac{16}{5}+4=\!-\frac{16}{5}+\frac{20}{5}=\frac{4}{5}.
Em decimal isso é \(0{,}8\). O ponto correspondente na reta é
\[y=-2\cdot\frac{4}{5}+2=-\frac{8}{5}+2=\frac{2}{5},\]
logo o ponto é \(\big(\tfrac{4}{5},\tfrac{2}{5}\big)\) com \(f=\tfrac{4}{5}\).

Passo 7

Comparar todos os candidatos e escolher mínimo e máximo absolutos:
  • Pontos candidatos e valores f:
    • (0,0): f=0.
    • (0,2): f=4.
    • (1,0): f=1.
    • \big(\tfrac{4}{5},\tfrac{2}{5}\big): f=\tfrac{4}{5}=0{,}8.
  • O menor valor entre esses é 0 em (0,0). Portanto mínimo absoluto é 0 em (0,0).
  • O maior valor entre esses é 4 em (0,2). Portanto máximo absoluto é 4 em (0,2).

Resposta

Mínimo absoluto: f(0,0)=0 em (0,0)
Máximo absoluto: f(0,2)=4 em (0,2)

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