Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
R:\left\{\begin{array}{l}x-2 y \leq 0 \\\\ 2 x+y \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar (desenhar) a região do plano formada pelos pontos (x,y)\) que satisfazem simultaneamente as duas inequações \[\begin{cases} x-2y \leq 0,\\[4pt] 2x+y \geq 0. \end{cases}
Informações dadas e o que é pedido:
  • Duas inequações lineares em x\] e \(y.
  • Pedir: o esboço da região do plano que satisfaz ambas (a interseção dos dois semiplanos).
  • Não há outros dados; a região pode ser descrita analiticamente e desenhada.]

Passo 2

Isolar y em cada inequação para entender qual lado da reta é permitido.
Primeira inequação:
x-2y \leq 0.
Passos algébricos:
x \leq 2y \quad\Rightarrow\quad 2y \geq x \quad\Rightarrow\quad y \geq \frac{x}{2}.
Segunda inequação:
2x+y \geq 0.
Passos algébricos:
y \geq -2x.
Portanto cada inequação define que y deve ser maior ou igual a uma função linear:
y \geq \frac{x}{2} \quad\text{e}\quad y \geq -2x.

Passo 3

Interpretação geométrica básica (aula rápida e amigável):
  • Cada equação y = m x + b é uma reta; aqui ambas passam pela origem ( b=0).
  • A desigualdade do tipo y \geq reta significa: “a região no plano que está acima (ou sobre) dessa reta”.
  • Logo cada inequação define um semiplano (meio-plano) que inclui a reta.
As retas limites são:
\text{Reta }L_1:\\ y=\frac{x}{2}\quad(\text{inclui pontos onde }x-2y=0),
\text{Reta }L_2:\\ y=-2x\quad(\text{inclui pontos onde }2x+y=0).

Passo 4

Localizando as retas no plano (como desenhar):
  • L_1 tem coeficiente angular m_1=\tfrac{1}{2}. Para desenhar: quando x=2 tem y=1; quando x=0 tem y=0.
  • L_2 tem coeficiente angular m_2=-2. Para desenhar: quando x=1 tem y=-2; quando x=-1 tem y=2.
Ambas passam por (0,0). Elas formam um “V” com vértice na origem.

Passo 5

Determinar a região comum (interseção dos semiplanos):
  • Como encontramos y \geq \tfrac{x}{2} e y \geq -2x, a região exigida é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \geq \tfrac{x}{2}\\ \text{e}\\ y \geq -2x\}.
  • Equivalentemente,
y \geq \max\!\left(\tfrac{x}{2},\,-2x\right).
Isto significa que, para cada abscissa x, escolhe-se o maior valor entre \tfrac{x}{2} e -2x e a região consiste dos pontos com y acima desse valor.

Passo 6

Entender qual das duas retas domina em cada lado do eixo y (útil para o esboço):
  • Para x>0, calcula-se \tfrac{x}{2} > -2x (porque x/2 - (-2x) = \tfrac{5x}{2}>0), então para x>0 a restrição ativa é y \geq \tfrac{x}{2}.
  • Para x<0, calcula-se -2x > \tfrac{x}{2} (porque se x<0, -2x é positivo grande), então para x<0 a restrição ativa é y \geq -2x.
  • Em x=0 ambas dão y\geq 0. Assim o vértice do “V” é (0,0).

Passo 7

Testes rápidos com pontos para confirmar a escolha de lado:
  • Tomar (0,1): x-2y = 0-2\cdot1 = -2 \leq 0 e 2x+y = 0+1 = 1 \geq 0. Logo (0,1) pertence à região (está acima das duas retas).
  • Tomar (1,0): x-2y = 1-0 = 1 \nleq 0. Logo (1,0) não pertence (está abaixo da reta y=\tfrac{x}{2}).
  • Tomar (-1,3): -1-2\cdot3=-7\le 0 e 2(-1)+3=1\ge0. Pertence (acima de ambas na região à esquerda).
Esses testes confirmam que a região está “acima” das duas retas e que o vértice é a origem.

Passo 8

Como fazer o esboço passo a passo na folha (pra prova sem drama):
  1. Desenhar os eixos coordenados e marcar alguns pontos.
  2. Desenhar L_1: reta passando por (0,0) e (2,1) (inclua a própria reta, traço contínuo porque a desigualdade admite igualdade).
  3. Desenhar L_2: reta passando por (0,0) e (1,-2) (traço contínuo).
  4. Para cada reta, sombrear a região acima delas (setinha para cima): isto porque ambas exigem y\ge a reta.
  5. A interseção das duas regiões sombreadas é um “V” aberto para cima com vértice em (0,0). Marque claramente a área acima de ambas as retas e deixe as retas incluídas (contorno sólido).
  6. Se quiser, marque um ponto interior (por exemplo (0,1)) para indicar a região.

Passo 9

Características finais da região (para anotar na folha):
  • Região não limitada (vai ao infinito para cima).
  • Vértice na origem (0,0).
  • Bordas incluídas (porque há igualdade em ambos os casos).
  • Para x\ge 0 a borda inferior é y=\tfrac{x}{2}; para x\le 0 a borda inferior é y=-2x.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \geq \tfrac{x}{2}\\ \text{e}\\ y \geq -2x\}

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