Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
R:\left\{\begin{array}{l}|y| \leq 2 x \\\ |x| \leq|y|+20\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado dá o conjunto R\) definido por duas inequações simultâneas: \[R:\begin{cases} |y| \leq 2x,\\[4pt] |x| \leq |y| + 20. \end{cases}
  • O que se pede: um esboço (desenho/descrição geométrica) da(s) região(ões) do plano que satisfazem ambas as inequações ao mesmo tempo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Ambas as desigualdades envolvem valores absolutos: |y|\] e \(|x|.
  • Estamos trabalhando no plano (x,y) real.
  • Não há outras restrições além das duas dadas.]

Passo 2

Entender e interpretar a primeira inequação |y| \leq 2x.
  • Lembrete sobre valor absoluto: |y| é sempre não negativo e |y| \leq A significa -A \leq y \leq A quando A\ge 0.
  • A desigualdade |y| \leq 2x exige que 2x seja não negativo (porque |y| \ge 0 ), logo devemos ter 2x \ge 0, isto é x \ge 0.
  • Reescrevendo o conteúdo da desigualdade em forma sem valor absoluto: |y| \le 2x \quad\Longleftrightarrow\quad -2x \le y \le 2x \quad\text{com } x\ge 0.
  • Geometricamente: isto é o setor (o “bico” ou cunha) do plano limitado pelas retas y=2x e y=-2x, incluindo as fronteiras, mas só para x\ge 0. É uma região em forma de V apontando para a direita, com vértice na origem.

Passo 3

Entender e interpretar a segunda inequação |x| \leq |y| + 20.
  • Novamente, usar que |x| \le B equivale a -B \le x \le B (quando B\ge0). Aqui B = |y|+20 é sempre \ge 20, logo não há problema de sinal.
  • Reescrevendo: |x| \le |y| + 20 \quad\Longleftrightarrow\quad -(|y|+20) \le x \le |y|+20.
  • A fronteira da desigualdade (caso de igualdade) é x = |y| + 20 e x = -(|y|+20). A curva x = |y| + 20 é um V com vértice em (20,0) e ramos das equações x = y+20 para y\ge 0 e x = -y+20 para y\le 0. Similarmente x = -(|y|+20) é um V com vértice em (-20,0) simétrico.
  • A desigualdade inteira significa: todos os pontos do plano que estão entre esses dois V (incluindo as bordas). Em palavras: "a parte do plano não muito à direita do V com vértice em (20,0) e não muito à esquerda do V com vértice em (-20,0)".

Passo 4

Interseção das duas regiões (combinar as duas desigualdades).
  • Da primeira inequação já obtivemos x\ge 0\). Então, quando aplicamos a segunda inequação, a condição inferior \(x \ge -(|y|+20)\) é automaticamente satisfeita (porque \(-(|y|+20) \le 0 \le x\)). Logo não precisamos nos preocupar com a parte esquerda do V de vértice em \((-20,0)\). - Portanto a interseção das duas desigualdades é equivalente a: \[\begin{cases} x \ge 0,\\[4pt] -2x \le y \le 2x,\\[4pt] x \le |y| + 20. \end{cases}
  • Podemos organizar de maneira útil isolando x\]: da desigualdade \(-2x \le y \le 2x tiramos |y| \le 2x, que é a mesma que x \ge \dfrac{|y|}{2}. Assim as três condições se tornam: \frac{|y|}{2} \le x \le |y| + 20.(a condição x\ge0 já está implícita em x\ge |y|/2, porque |y|/2\ge0).]

Passo 5

Interpretação geométrica final: descrição das curvas fronteira e da região entre elas.
  • As duas curvas que limitam a região em x como função de y são:
    • Curva interior (mais à esquerda): x = \dfrac{|y|}{2}. Essa é a reescrita das retas y=\pm 2x; é um V com vértice na origem (0,0) e ramos de inclinação \pm 2 visto como y em função de x.
    • Curva exterior (mais à direita): x = |y| + 20. Essa é um V com vértice em (20,0) e ramos de inclinação \pm 1.
  • A região R é exatamente o conjunto de pontos situados entre esses dois V, para todo y. Em cada altura y fixa, a abscissa x varia do mínimo x_{\min}(y) = \frac{|y|}{2}ao máximo x_{\max}(y) = |y| + 20.Assim R é a faixa vertical entre essas duas curvas, incluindo as bordas.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (instrução prática para desenhar na prova).
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Desenhe o V de vértice em (0,0) dado por x = \dfrac{|y|}{2}, ou equivalentemente pelas retas y = 2x e y = -2x para x\ge 0. Esse é o limite interno da região.
    • Para marcar: quando x=0 tem y=0; quando x=10 tem y=\pm 20.
  3. Desenhe o V de vértice em (20,0) dado por x = |y| + 20, ou y = \pm(x-20) para x\ge 20. Esse é o limite externo da região.
    • Para marcar: em y=0 o ponto do V externo é x=20; para y=10, a abscissa do V externo é x=30.
  4. A região R é a faixa entre esses dois V, para ambas as partes acima e abaixo do eixo x. Pintar a área entre as duas curvas e incluir as bordas.
  5. Verificações rápidas: no eixo y=0 a faixa Vai de x=0 até x=20. Para y=40 a faixa vai de x=20 até x=60. Isso confirma que a faixa se abre à medida que |y| cresce.

Passo 7

Alguns pontos para checar e fixar a intuição (pequenos exemplos numéricos).
  • Ponto (0,0): |0| \le 2\cdot0 e |0| \le |0|+20 → está em R.
  • Ponto (10,0): |0| \le 2\cdot10 e |10| \le 0+20 → está em R.
  • Ponto (30,0): |0| \le 2\cdot30 mas |30| \le 0+20 é falso → não está em R.
  • Ponto (30,40): verificar |40| \le 2\cdot30 40 \le 60 ok; e |30| \le 40+20 30 \le 60 ok → está em R.

Resposta

O conjunto R é a faixa do plano limitada pelas curvas
x = \frac{|y|}{2}\quad\text{e}\quad x = |y| + 20,
ou seja,
R=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \frac{|y|}{2}\le x\le |y|+20\right\}.

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