Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O enunciado dá o conjunto
- O que se pede: um esboço (desenho/descrição geométrica) da(s) região(ões) do plano que satisfazem ambas as inequações ao mesmo tempo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Ambas as desigualdades envolvem valores absolutos: .
- Estamos trabalhando no plano
real. - Não há outras restrições além das duas dadas.]
Passo 2
Entender e interpretar a primeira inequação
.
- Lembrete sobre valor absoluto:
é sempre não negativo e significa quando . - A desigualdade
exige que seja não negativo (porque ), logo devemos ter , isto é - Reescrevendo o conteúdo da desigualdade em forma sem valor absoluto:
- Geometricamente: isto é o setor (o “bico” ou cunha) do plano limitado pelas retas
e , incluindo as fronteiras, mas só para . É uma região em forma de V apontando para a direita, com vértice na origem.
Passo 3
Entender e interpretar a segunda inequação
.
- Novamente, usar que
equivale a (quando ). Aqui é sempre , logo não há problema de sinal. - Reescrevendo:
- A fronteira da desigualdade (caso de igualdade) é
e . A curva é um V com vértice em e ramos das equações para e para . Similarmente é um V com vértice em simétrico. - A desigualdade inteira significa: todos os pontos do plano que estão entre esses dois V (incluindo as bordas). Em palavras: "a parte do plano não muito à direita do V com vértice em
e não muito à esquerda do V com vértice em ".
Passo 4
Interseção das duas regiões (combinar as duas desigualdades).
- Da primeira inequação já obtivemos
- Podemos organizar de maneira útil isolando
tiramos
, que é a mesma que . Assim as três condições se tornam: (a condição já está implícita em , porque ).]
Passo 5
Interpretação geométrica final: descrição das curvas fronteira e da região entre elas.
- As duas curvas que limitam a região em
como função de são: - Curva interior (mais à esquerda):
. Essa é a reescrita das retas ; é um V com vértice na origem e ramos de inclinação visto como em função de . - Curva exterior (mais à direita):
. Essa é um V com vértice em e ramos de inclinação .
- Curva interior (mais à esquerda):
- A região
é exatamente o conjunto de pontos situados entre esses dois V, para todo . Em cada altura fixa, a abscissa varia do mínimo ao máximo Assim é a faixa vertical entre essas duas curvas, incluindo as bordas.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (instrução prática para desenhar na prova).
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe o V de vértice em
dado por , ou equivalentemente pelas retas e para . Esse é o limite interno da região. - Para marcar: quando
tem ; quando tem .
- Para marcar: quando
- Desenhe o V de vértice em
dado por , ou para . Esse é o limite externo da região. - Para marcar: em
o ponto do V externo é ; para , a abscissa do V externo é .
- Para marcar: em
- A região
é a faixa entre esses dois V, para ambas as partes acima e abaixo do eixo . Pintar a área entre as duas curvas e incluir as bordas. - Verificações rápidas: no eixo
a faixa Vai de até . Para a faixa vai de até . Isso confirma que a faixa se abre à medida que |y| cresce.
Passo 7
Alguns pontos para checar e fixar a intuição (pequenos exemplos numéricos).
- Ponto
: e → está em . - Ponto
: e → está em . - Ponto
: mas é falso → não está em . - Ponto
: verificar → ok; e → ok → está em .
Resposta
O conjunto
é a faixa do plano limitada pelas curvas
ou seja,