Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
R:\left\{\begin{array}{l}|x+y| \leq 2 \\\ |y-x|<2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto R\) definido pelas duas inequações: \[\begin{cases} |x+y| \leq 2,\\[4pt] |y-x| < 2. \end{cases}
O que se pede é fazer um esboço (desenhar/identificar geometricamente) da região do plano (x,y)\] que satisfaz essas duas condições simultaneamente. Informações relevantes que o enunciado dá: - A primeira condição impõe uma faixa (strip) em torno da reta \(x+y=0.
- A segunda condição impõe outra faixa em torno da reta y-x=0 (ou x-y=0).
Não se resolve nada ainda; só listei o pedido e as duas desigualdades dadas.]

Passo 2

Transformar cada desigualdade de valor absoluto em duas desigualdades lineares, usando a identidade básica: para qualquer expressão a e número b\ge0,
|a|\le b \iff -b\le a\le b, \qquad |a|< b \iff -b<a<b.
Aplicando isso às nossas expressões:
|x+y|\le 2 \iff -2 \le x+y \le 2,
|y-x|< 2 \iff -2 < y-x < 2.
Agora temos explícito que R é a interseção de duas faixas delimitadas por retas.

Passo 3

Vou reescrever o conjunto R de forma clara:
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -2 \le x+y \le 2,\; -2 < y-x < 2\}.
Interpretação geométrica imediata:
  • A condição -2 \le x+y \le 2 corresponde à faixa entre as retas \;x+y=2\; e \;x+y=-2\;. Essas duas retas pertencem à fronteira da faixa e são incluídas (porque é \le).
  • A condição -2 < y-x < 2 corresponde à faixa entre as retas \;y-x=2\; e \;y-x=-2\;. Essas retas NÃO são incluídas (porque é <), ou seja, são fronteiras excluídas.

Passo 4

Para visualizar melhor a interseção, é útil fazer a mudança de variáveis linear
u = x+y,\qquad v = y-x.
Esta substituição é só uma rotação/escala linear do plano; é invertível. Vou mostrar como voltar a (x,y) a partir de (u,v).

Passo 5

Resolver para x e y em função de u e v. Somando e subtraindo:
u+v = (x+y)+(y-x)=2y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{u+v}{2},
u-v = (x+y)-(y-x)=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{u-v}{2}.
Portanto a transformação (x,y)\mapsto(u,v) é linear e biunívoca; conjuntos retangulares em (u,v) aparecem como paralelogramos (aqui: losango) em (x,y).

Passo 6

Expressar as desigualdades em u,v. Pelo que definimos,
|x+y|\le 2 \iff |u|\le 2, \qquad |y-x|<2 \iff |v|<2.
Logo, no plano (u,v) a região correspondente é simplesmente o retângulo
-2\le u\le 2,\qquad -2<v<2,
isto é, o produto \;[-2,2]\times(-2,2)\;. Este retângulo tem as duas arestas horizontais (em v) abertas e as duas arestas verticais (em u) fechadas.

Passo 7

Mapear as quatro extremidades (vértices do retângulo em (u,v)) de volta para (x,y) para obter os vértices do paralelogramo resultante. Os vértices em (u,v) são (u,v)=(\pm2,\pm2). Calcular cada um:
  1. (u,v)=(2,2). Então
y=\frac{u+v}{2}=\frac{2+2}{2}=2,\qquad x=\frac{u-v}{2}=\frac{2-2}{2}=0.
Vértice: (0,2).
  1. (u,v)=(2,-2). Então
y=\frac{2+(-2)}{2}=0,\qquad x=\frac{2-(-2)}{2}=\frac{4}{2}=2.
Vértice: (2,0).
  1. (u,v)=(-2,2). Então
y=\frac{-2+2}{2}=0,\qquad x=\frac{-2-2}{2}=\frac{-4}{2}=-2.
Vértice: (-2,0).
  1. (u,v)=(-2,-2). Então
y=\frac{-2+(-2)}{2}=-2,\qquad x=\frac{-2-(-2)}{2}=0.
Vértice: (0,-2).
Portanto os quatro vértices do paralelogramo são exatamente os pontos
(0,2),\quad (2,0),\quad (0,-2),\quad (-2,0).

Passo 8

Descrever a forma geométrica no plano (x,y):
  • A interseção das duas faixas é um losango (diamante) centralizado na origem com os vértices listados em Passo 7.
  • O interior do losango (pontos estritamente entre todas as quatro retas) corresponde a -2<u<2,\; -2<v<2, logo é totalmente incluído em R.
  • Sobre as fronteiras:
    • As arestas correspondentes a u=\pm 2 (ou seja, as partes das retas x+y=2 e x+y=-2 que ficam entre os vértices) pertencem a R, porque u=\pm2 é permitido ( |u|\le2) e os pontos nessas arestas têm v\in(-2,2).
    • As arestas correspondentes a v=\pm2 (as partes das retas y-x=2 e y-x=-2) NÃO pertencem a R, porque v=\pm2 é proibido ( |v|<2).
    • Os quatro vértices são interseções onde v=\pm2 e portanto NÃO pertencem a R (cada vértice viola a segunda desigualdade, que é estrita).
      Resumindo: o losango inteiro (interior) está incluído; duas arestas opostas (as de x+y=\pm2) estão incluídas sem seus extremos; as outras duas arestas (as de y-x=\pm2) estão excluídas por completo; os vértices estão excluídos.

Passo 9

Checagem rápida com exemplos numéricos:
  • Ponto (0,0): x+y=0 e y-x=0. Satisfeitas as duas condições, logo pertence a R.
  • Ponto (1,1): x+y=2 (ok, \le2), y-x=0 (ok, <2). Pertence a R e está sobre a aresta x+y=2.
  • Ponto (2,0) (um vértice): x+y=2 (ok), y-x=-2 (não ok, porque é -2 e precisamos de > -2). Logo (2,0)\notin R. Isso confirma que os vértices são excluídos.

Passo 10

Como esboçar rapidamente no caderno (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace as retas x+y=2 e x+y=-2 (são retas com coeficiente angular -1, diagonais NW–SE). Estas duas são as fronteiras incluídas.
  3. Trace as retas y-x=2 e y-x=-2 (são retas com coeficiente angular +1, diagonais NE–SW). Estas são as fronteiras excluídas (desenhe-as tracejadas).
  4. Marque os quatro pontos de interseção (0,2),(2,0),(0,-2),(-2,0) — são os vértices do losango, mas coloque-os vazios (não preenchidos) para indicar que não pertencem ao conjunto.
  5. Pinte (sombree) o interior do losango; sobre as arestas x+y=\pm2 dentro do segmento entre os vértices marque como incluídas (traço contínuo), e as arestas y-x=\pm2 como excluídas (tracejadas).

Resposta

O conjunto R é o losango com vértices (0,2),(2,0),(0,-2),(-2,0), formado pela interseção das faixas -2\le x+y\le 2 e -2<y-x<2. O interior do losango pertence a R; as arestas ao longo de x+y=2 e x+y=-2 pertencem a R (exceto os vértices) e as arestas ao longo de y-x=2 e y-x=-2 são excluídas.

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