Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que se pede é fazer um esboço (desenhar/identificar geometricamente) da região do plano
.
- A segunda condição impõe outra faixa em torno da reta (ou
).
Não se resolve nada ainda; só listei o pedido e as duas desigualdades dadas.]
- A segunda condição impõe outra faixa em torno da reta
Não se resolve nada ainda; só listei o pedido e as duas desigualdades dadas.]
Passo 2
Transformar cada desigualdade de valor absoluto em duas desigualdades lineares, usando a identidade básica: para qualquer expressão
e número
,
Aplicando isso às nossas expressões:
Agora temos explícito que
é a interseção de duas faixas delimitadas por retas.
Passo 3
Vou reescrever o conjunto
de forma clara:
Interpretação geométrica imediata:
- A condição
corresponde à faixa entre as retas e . Essas duas retas pertencem à fronteira da faixa e são incluídas (porque é ). - A condição
corresponde à faixa entre as retas e . Essas retas NÃO são incluídas (porque é ), ou seja, são fronteiras excluídas.
Passo 4
Para visualizar melhor a interseção, é útil fazer a mudança de variáveis linear
Esta substituição é só uma rotação/escala linear do plano; é invertível. Vou mostrar como voltar a
a partir de
.
Passo 5
Resolver para
e
em função de
e
. Somando e subtraindo:
Portanto a transformação
é linear e biunívoca; conjuntos retangulares em
aparecem como paralelogramos (aqui: losango) em
.
Passo 6
Expressar as desigualdades em
. Pelo que definimos,
Logo, no plano
a região correspondente é simplesmente o retângulo
isto é, o produto
. Este retângulo tem as duas arestas horizontais (em
) abertas e as duas arestas verticais (em
) fechadas.
Passo 7
Mapear as quatro extremidades (vértices do retângulo em
) de volta para
para obter os vértices do paralelogramo resultante. Os vértices em
são
. Calcular cada um:
-
. Então
Vértice:
.
-
. Então
Vértice:
.
-
. Então
Vértice:
.
-
. Então
Vértice:
.
Portanto os quatro vértices do paralelogramo são exatamente os pontos
Passo 8
Descrever a forma geométrica no plano
:
- A interseção das duas faixas é um losango (diamante) centralizado na origem com os vértices listados em Passo 7.
- O interior do losango (pontos estritamente entre todas as quatro retas) corresponde a
, logo é totalmente incluído em . - Sobre as fronteiras:
- As arestas correspondentes a
(ou seja, as partes das retas e que ficam entre os vértices) pertencem a , porque é permitido ( ) e os pontos nessas arestas têm . - As arestas correspondentes a
(as partes das retas e ) NÃO pertencem a , porque é proibido ( ). - Os quatro vértices são interseções onde
e portanto NÃO pertencem a (cada vértice viola a segunda desigualdade, que é estrita).
Resumindo: o losango inteiro (interior) está incluído; duas arestas opostas (as de) estão incluídas sem seus extremos; as outras duas arestas (as de ) estão excluídas por completo; os vértices estão excluídos.
- As arestas correspondentes a
Passo 9
Checagem rápida com exemplos numéricos:
- Ponto
: e . Satisfeitas as duas condições, logo pertence a . - Ponto
: (ok, ), (ok, ). Pertence a e está sobre a aresta . - Ponto
(um vértice): (ok), (não ok, porque é e precisamos de ). Logo . Isso confirma que os vértices são excluídos.
Passo 10
Como esboçar rapidamente no caderno (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Trace as retas
e (são retas com coeficiente angular , diagonais NW–SE). Estas duas são as fronteiras incluídas. - Trace as retas
e (são retas com coeficiente angular , diagonais NE–SW). Estas são as fronteiras excluídas (desenhe-as tracejadas). - Marque os quatro pontos de interseção
— são os vértices do losango, mas coloque-os vazios (não preenchidos) para indicar que não pertencem ao conjunto. - Pinte (sombree) o interior do losango; sobre as arestas
dentro do segmento entre os vértices marque como incluídas (traço contínuo), e as arestas como excluídas (tracejadas).
Resposta
O conjunto
é o losango com vértices
, formado pela interseção das faixas
e
. O interior do losango pertence a
; as arestas ao longo de
e
pertencem a
(exceto os vértices) e as arestas ao longo de
e
são excluídas.