Faça uma expansão em Série de Taylor para as seguintes funções abaixo até ordem 5.
f(x)=e^{-x} \quad para x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{-x} e pede a expansão em série de Taylor centrada em x_{0}=0 (ou seja, série de Maclaurin) até ordem 5.
Informações relevantes:
  • Função: f(x)=e^{-x}.
  • Ponto de expansão: x_{0}=0.
  • Pedir: polinômio de Taylor de ordem 5, isto é, termos correspondentes a x^{0},x^{1},\dots,x^{5}.

Passo 2

Vou usar a fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem n centrado em x_{0}:
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}\,(x-x_{0})^{k}.
Explicando cada símbolo dessa fórmula:
  • T_{n}(x) é o polinômio de Taylor de ordem n.
  • f^{(k)}(x_{0}) é a k-ésima derivada de f avaliada no ponto x_{0}.
  • k! é o fatorial de k (por ex. 3!=3\cdot2\cdot1=6).
  • (x-x_{0})^{k} é a potência que dá a dependência em x.
    Para nosso caso x_{0}=0 a fórmula fica
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k}.

Passo 3

Agora precisamos das derivadas de f(x)=e^{-x} até a ordem 5. Vou calcular explicitamente e mostrar o padrão.
f(x)=e^{-x}
f'(x) = \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}
f''(x) = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = (+1)e^{-x}
f^{(3)}(x) = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}
f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}
f^{(5)}(x) = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}
Observação do padrão: a cada derivada multiplica-se por -1, logo
f^{(k)}(x)=(-1)^{k}e^{-x}.

Passo 4

Avalio essas derivadas em x_{0}=0.
Como e^{0}=1, para todo k temos
f^{(k)}(0)=(-1)^{k}\cdot 1 = (-1)^{k}.
Especificamente:
f(0)=1,\quad f'(0)=-1,\quad f''(0)=1,\quad f^{(3)}(0)=-1,\quad f^{(4)}(0)=1,\quad f^{(5)}(0)=-1.

Passo 5

Substituo na fórmula do polinômio de Taylor com n=5:
T_{5}(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{(-1)^{k}}{k!}\,x^{k}.
Escrevendo termo a termo:
T_{5}(x)=1 - x + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{5}}{5!}.
Esse é o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem 5 para e^{-x}.

Passo 6

Dica prática para prova (jeito rápido): como a série de Maclaurin de e^{t} é
e^{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!},
basta substituir t=-x para obter imediatamente
e^{-x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!},
e cortar a soma em k=5 para a ordem 5. É a mesma resposta, mas costuma ser mais rápido se lembrar da série de e^{t}.

Passo 7

Erro (resto) ao truncar na ordem 5. O resto na forma de Lagrange é
R_{5}(x)=\frac{f^{(6)}(\xi)}{6!}\,x^{6}
para algum \xi entre 0 e x. Como f^{(6)}(t)=(-1)^{6}e^{-t}=e^{-t}, tem-se
R_{5}(x)=\frac{e^{-\xi}}{6!}\,x^{6},\qquad \xi\in(0,x).
Em módulo, uma cota simples é
|R_{5}(x)|\le \frac{e^{|\!x\!|}}{6!}\,|x|^{6},
o que permite estimar quão bom é o polinômio T_{5}(x) para um x dado.

Resposta

1 - x + \dfrac{x^{2}}{2!} - \dfrac{x^{3}}{3!} + \dfrac{x^{4}}{4!} - \dfrac{x^{5}}{5!}

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