Faça uma expansão em Série de Taylor para as seguintes funções abaixo até ordem 5.
para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a expansão em série de Taylor centrada em
(ou seja, série de Maclaurin) até ordem
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto de expansão:
. - Pedir: polinômio de Taylor de ordem
, isto é, termos correspondentes a .
Passo 2
Vou usar a fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem
centrado em
:
Explicando cada símbolo dessa fórmula:
-
é o polinômio de Taylor de ordem . -
é a -ésima derivada de avaliada no ponto . -
é o fatorial de (por ex. ). -
é a potência que dá a dependência em .
Para nosso casoa fórmula fica
Passo 3
Agora precisamos das derivadas de
até a ordem
. Vou calcular explicitamente e mostrar o padrão.
Observação do padrão: a cada derivada multiplica-se por
, logo
Passo 4
Avalio essas derivadas em
.
Como , para todo
temos
Como
Especificamente:
Passo 5
Substituo na fórmula do polinômio de Taylor com
:
Escrevendo termo a termo:
Esse é o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem
para
.
Passo 6
Dica prática para prova (jeito rápido): como a série de Maclaurin de
é
basta substituir
para obter imediatamente
e cortar a soma em
para a ordem
. É a mesma resposta, mas costuma ser mais rápido se lembrar da série de
.
Passo 7
Erro (resto) ao truncar na ordem
. O resto na forma de Lagrange é
para algum
entre
e
. Como
, tem-se
Em módulo, uma cota simples é
o que permite estimar quão bom é o polinômio
para um
dado.