Q3) A função
é diferenciável e verifica a equação
para todo
. Sabendo que
, determine o valor de
( dica: qual o valor de
?).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Dado que a função
é diferenciável e satisfaz, para todo ,
- Também é dada a informação
- A pergunta é: determinar o valor de
.
Passo 2
Identificar o(s) valor(es) de [t) em que o par
coincide com o ponto
, porque só nesses
podemos usar as derivadas avaliadas em
.
Escrevo o sistema
Primeiro resolvo a equação quadrática
e
.
Agora verifico cada uma na segunda equação:
- Para
: . OK — satisfaz. - Para
: . Não é . Portanto não serve.
Conclusão: o único
que corresponde ao ponto
é
.]
Passo 3
Explicar e aplicar a regra da cadeia (cadeia para funções de várias variáveis), que justifica diferenciar a identidade composta dada.
Como
é diferenciável, a composição
com
é diferenciável, e a regra da cadeia diz:
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a avaliada no ponto ; -
é a derivada parcial de em relação a ; -
e são as derivadas das funções escalares e em relação a .
No nosso caso a composição é igual à função escalar
. Portanto, para todo
vale
Passo 4
Calcular as derivadas envolvidas e avaliar em
.
Primeiro calculo
e
:
Em
isso dá
Agora a derivada do lado direito:
Em
isso vale
Finalmente, aplicando a regra da cadeia em
(onde
) obtemos a igualdade
Substituindo os valores que já conhecemos:
Isto é
Passo 5
Resolver a equação para
.
Da igualdade acima segue
Força aí — pronto! Essa é a resposta que você pode anotar na prova.