Q3) A função f(x, y) é diferenciável e verifica a equação
f\left(t^{2}+t, 2 t-t^{3}\right)=t+\frac{1}{t}
para todo t \in \mathbb{R}. Sabendo que \frac{\partial f}{\partial x}(2,1)=-3, determine o valor de \frac{\partial f}{\partial y}(2,1) ( dica: qual o valor de t ?).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dado que a função f(x,y) é diferenciável e satisfaz, para todo t\in\mathbb{R},
f\big(t^{2}+t,\;2t-t^{3}\big)=t+\frac{1}{t}.
  • Também é dada a informação
\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)=-3.
  • A pergunta é: determinar o valor de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(2,1).

Passo 2

Identificar o(s) valor(es) de [t) em que o par \big(t^{2}+t,\;2t-t^{3}\big) coincide com o ponto (2,1), porque só nesses t podemos usar as derivadas avaliadas em (2,1).
Escrevo o sistema
\begin{cases} t^{2}+t=2,\\[4pt] 2t-t^{3}=1. \end{cases}
Primeiro resolvo a equação quadrática t^{2}+t-2=0\]. Essa fatoriza como \[t^{2}+t-2=(t+2)(t-1)=0,\] portanto as soluções são \(t=1 e t=-2.
Agora verifico cada uma na segunda equação:
  • Para t=1: 2(1)-1^{3}=2-1=1. OK — satisfaz.
  • Para t=-2: 2(-2)-(-2)^{3}=-4-(-8)=4. Não é 1. Portanto t=-2 não serve.
Conclusão: o único t que corresponde ao ponto (2,1) é t=1.]

Passo 3

Explicar e aplicar a regra da cadeia (cadeia para funções de várias variáveis), que justifica diferenciar a identidade composta dada.
Como f é diferenciável, a composição g(t)=f\big(x(t),y(t)\big) com
x(t)=t^{2}+t,\qquad y(t)=2t-t^{3}
é diferenciável, e a regra da cadeia diz:
\frac{d}{dt}f\big(x(t),y(t)\big)=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t)\big)\,x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t)\big)\,y'(t).
Aqui:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada no ponto (x,y);
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) é a derivada parcial de f em relação a y;
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas das funções escalares x(t) e y(t) em relação a t.
No nosso caso a composição é igual à função escalar h(t)=t+\dfrac{1}{t}. Portanto, para todo t vale
\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t)\big)\,x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t)\big)\,y'(t) =\frac{d}{dt}\!\left(t+\frac{1}{t}\right).

Passo 4

Calcular as derivadas envolvidas e avaliar em t=1.
Primeiro calculo x'(t) e y'(t):
x(t)=t^{2}+t \quad\Rightarrow\quad x'(t)=2t+1,
y(t)=2t-t^{3} \quad\Rightarrow\quad y'(t)=2-3t^{2}.
Em t=1 isso dá
x'(1)=2\cdot1+1=3,\qquad y'(1)=2-3\cdot1^{2}=2-3=-1.
Agora a derivada do lado direito:
\frac{d}{dt}\!\left(t+\frac{1}{t}\right)=1-\frac{1}{t^{2}}.
Em t=1 isso vale
1-\frac{1}{1^{2}}=1-1=0.
Finalmente, aplicando a regra da cadeia em t=1 (onde (x(1),y(1))=(2,1)) obtemos a igualdade
\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)\cdot x'(1)+\frac{\partial f}{\partial y}(2,1)\cdot y'(1)=0.
Substituindo os valores que já conhecemos:
\left(-3\right)\cdot 3 + \frac{\partial f}{\partial y}(2,1)\cdot(-1)=0.
Isto é
-9 - \frac{\partial f}{\partial y}(2,1)=0.

Passo 5

Resolver a equação para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(2,1).
Da igualdade acima segue
\frac{\partial f}{\partial y}(2,1)=-9.
Força aí — pronto! Essa é a resposta que você pode anotar na prova.

Resposta

-9

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