Use o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo de F através da superfície \sigma com orientação para fora.
\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\mathrm{x}^{3}-\mathrm{e}^{\mathrm{y}}\right) \mathrm{i}+\left(\mathrm{y}^{3}+\operatorname{sen} \mathrm{z}\right) \mathrm{j}+\left(\mathrm{z}^{3}-\mathrm{xy}\right) \mathrm{k} ; \sigma é a superfície do sólido limitado acima por x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e abaixo pelo plano x y.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Campo vetorial fornecido (peguei do enunciado):
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(x^{3}-e^{y}\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(y^{3}+\sin z\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(z^{3}-xy\bigr)\,\mathbf{k}.
  • Região sólida \,V\: (peguei do enunciado): limitada acima pela esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
e limitada abaixo pelo plano xy. Do enunciado interpreto que isso significa o plano z=0 (plano xy), portanto V é o sólido do hemisfério superior:
V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1,\; z\ge 0\}.
  • Superfície \sigma é a superfície fechada que envolve esse sólido. A orientação pedida é para fora (normal apontando para fora do sólido).
O que o enunciado pede:
  • Calcular o fluxo de \mathbf{F} através de \sigma com orientação para fora, isto é
\iint_{\sigma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.

Passo 2

Apresentar a ferramenta que vamos usar (Teorema da Divergência) e justificar por que podemos usá-la.
O Teorema da Divergência (Gauss) diz que, para um campo vetorial \mathbf{F} suficientemente suave definido numa região sólida V com fronteira fechada \sigma=\partial V orientada para fora,
\iint_{\sigma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Aqui a superfície \sigma é a fronteira do hemisfério superior V, e \mathbf{F} é polinomial/exponencial/trigonométrico (suave), então as hipóteses do teorema são satisfeitas. Portanto podemos trocar o cálculo de fluxo por uma integral tripla do divergente sobre V.

Passo 3

Calcular explicitamente o divergente \operatorname{div}\mathbf{F}.
Por definição,
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-e^{y}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}+\sin z\bigr)+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{3}-xy\bigr).
Calculemos cada derivada parcial:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-e^{y}\bigr)=3x^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}+\sin z\bigr)=3y^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{3}-xy\bigr)=3z^{2}.
Somando:
\operatorname{div}\mathbf{F}=3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}=3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 4

Montar a integral tripla usando coordenadas adequadas e justificar a escolha.
Queremos
\iint_{\sigma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV.
Como V é o hemisfério de raio 1, é natural usar coordenadas esféricas. Definições e notação (explicando cada variável):
  • Em coordenadas esféricas usamos \,r\ge 0 (distância do origem), \theta\in[0,\pi] (ângulo polar medido a partir do eixo z positivo) e \varphi\in[0,2\pi) (ângulo azimutal no plano xy).
  • As relações com coordenadas cartesianas são
x=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\theta.
  • O volume elemento é \,dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Na nossa região V (hemisfério superior) os limites são
0\le r\le 1,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\quad(\text{porque }z\ge0),\qquad 0\le\varphi\le 2\pi.
Também note que \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}. Portanto o integrando fica 3r^{2} e o elemento dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. O integrando total é
3r^{2}\cdot r^{2}\sin\theta=3r^{4}\sin\theta.

Passo 5

Escrever e calcular a integral tripla passo a passo.
A integral é
\iiint_{V}3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV =\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}3r^{4}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Como a expressão separa em fatores dependentes apenas de r, \theta e \varphi, podemos separar as integrais:
\left(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{1}3r^{4}\,dr\right).
Calcule cada uma:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi.
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2}=-(0-1)=1.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}3r^{4}\,dr=3\cdot\frac{r^{5}}{5}\Big|_{0}^{1}=3\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{5}.
Multiplicando:
2\pi\cdot 1\cdot \frac{3}{5}=\frac{6\pi}{5}.

Passo 6

Verificação rápida da orientação.
O Teorema da Divergência fornece o fluxo pela superfície com orientação para fora automaticamente ao integrar o divergente sobre V. Portanto o sinal está correto para a orientação pedida.

Resposta

\dfrac{6\pi}{5}

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