Use o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo de F através da superfície \sigma com orientação para fora. \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\mathrm{x}^{3}-\mathrm{e}^{\mathrm{y}}\right) \mathrm{i}+\left(\mathrm{y}^{3}+\operatorname{sen} \mathrm{z}\right) \mathrm{j}+\left(\mathrm{z}^{3}-\mathrm{xy}\right) \mathrm{k} ; \sigma é a superfície do sólido limitado acima por x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e abaixo pelo plano x y.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Superfície \sigma é a superfície fechada que envolve esse sólido. A orientação pedida é para fora (normal apontando para fora do sólido).
O que o enunciado pede:
Calcular o fluxo de \mathbf{F} através de \sigma com orientação para fora, isto é
\iint_{\sigma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Passo 2
Apresentar a ferramenta que vamos usar (Teorema da Divergência) e justificar por que podemos usá-la.
O Teorema da Divergência (Gauss) diz que, para um campo vetorial \mathbf{F} suficientemente suave definido numa região sólida V com fronteira fechada \sigma=\partial V orientada para fora,
Aqui a superfície \sigma é a fronteira do hemisfério superior V, e \mathbf{F} é polinomial/exponencial/trigonométrico (suave), então as hipóteses do teorema são satisfeitas. Portanto podemos trocar o cálculo de fluxo por uma integral tripla do divergente sobre V.
Passo 3
Calcular explicitamente o divergente \operatorname{div}\mathbf{F}.
Como V é o hemisfério de raio 1, é natural usar coordenadas esféricas. Definições e notação (explicando cada variável):
Em coordenadas esféricas usamos \,r\ge 0 (distância do origem), \theta\in[0,\pi] (ângulo polar medido a partir do eixo z positivo) e \varphi\in[0,2\pi) (ângulo azimutal no plano xy).
Também note que \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}. Portanto o integrando fica 3r^{2} e o elemento dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. O integrando total é
3r^{2}\cdot r^{2}\sin\theta=3r^{4}\sin\theta.
Passo 5
Escrever e calcular a integral tripla passo a passo.
O Teorema da Divergência fornece o fluxo pela superfície com orientação para fora automaticamente ao integrar o divergente sobre V. Portanto o sinal está correto para a orientação pedida.