Faça o mesmo para um gás que obedeça à equação de Redlich-Kwong:
em que
e
são constantes dependentes da substância em questão mas independentes da temperatura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a equação de Redlich-Kwong, que é uma equação de estado para gases reais. Ela nos ajuda a entender como a pressão $ P $, o volume $ V $ e a temperatura $ T $ de um gás estão relacionados, levando em conta interações entre as moléculas do gás. Precisamos calcular algumas derivadas parciais das funções termodinâmicas internas $ U $ (energia interna), $ S $ (entropia) e $ H $ (entalpia) em relação ao volume $ V $ e à pressão $ P $, mantendo a temperatura $ T $ constante. Para isso, vamos usar a equação de Redlich-Kwong fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Redlich-Kwong que foi dada:
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes específicas da substância, $ R $ é a constante universal dos gases, $ T $ é a temperatura, $ V $ é o volume e $ P $ é a pressão.
Essa equação ajusta a Lei dos Gases Ideais considerando o volume reduzido pelas moléculas ($ V - b
\frac{a}{\sqrt{T} V (V + b)} $).
Passo 3
Agora, vamos precisar das relações termodinâmicas que conectam as propriedades $ U $, $ S $ e $ H $ com $ P $, $ V $ e $ T $. Sabemos que:
- Energia interna $ U $ depende apenas da temperatura para gases ideais, mas para gases reais, também pode depender do volume.
- Entropia $ S $ está relacionada à desordem do sistema.
- Entalpia $ H $ é definida como $ H = U + P V $.
Para calcular as derivadas parciais solicitadas, vamos usar relações de Maxwell e propriedades das derivadas em termodinâmica.
Passo 4
Vamos começar calculando cada derivada uma por uma. Primeiro, vamos encontrar $ \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T $.
Sabemos que:
Essa relação vem da primeira lei da termodinâmica e das relações termodinâmicas.
Passo 5
Vamos calcular $ \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V $ usando a equação de Redlich-Kwong. Diferenciando $ P $ em relação a $ T $ manteniendo $ V $ constante:
Agora, substituímos na expressão da energia interna:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \left( \frac{\partial U}{\partial P} \right)_T $. Para isso, usamos a relação da derivada cruzada:
Já temos $ \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T $. Precisamos encontrar $ \left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T $, que é a inversa da compressibilidade isoterma:
No entanto, para gases reais, essa relação é mais complexa e depende da equação de estado específica. Portanto, para simplificar, podemos usar a expressão derivada da equação de Redlich-Kwong.
Após os cálculos, obtemos:
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são: