Mostre que a relação entre
e
é dada por meio de:
3.12
Propriedades termodinâmicas
e calcule essa relação para um gás ideal. Mostre que
para qualquer fluido. Em que condições valerá a igualdade?
3.12
Propriedades termodinâmicas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar a relação entre as capacidades térmicas a pressão constante (
) e a volume constante (
) usando uma fórmula termodinâmica específica. Além disso, precisamos calcular essa relação para um gás ideal e provar que sempre
é maior ou igual a
para qualquer fluido, e também descobrir em que situações elas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como capacidade térmica, derivadas parciais em termodinâmica e as propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a fórmula dada:
Essa equação relaciona
e
através de derivadas parciais de volume em relação à temperatura e de pressão em relação ao volume. Nosso objetivo é entender de onde essa relação vem e como aplicá-la.
Passo 3
Para derivar essa relação, precisamos usar algumas propriedades termodinâmicas. Uma delas é a primeira lei da termodinâmica e as relações de Maxwell, que conectam diferentes derivadas parciais. Sem entrar em muitos detalhes técnicos, a ideia é relacionar as mudanças de energia interna e entalpia com as variações de volume e temperatura. Ao manipular essas relações, conseguimos chegar à fórmula apresentada inicialmente.
Passo 4
Agora, vamos calcular essa relação para um gás ideal. Sabemos que para um gás ideal, temos a equação de estado:
Onde:
-
é a pressão -
é o volume -
é a quantidade de substância -
é a constante dos gases -
é a temperatura
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Mas sabemos que
, então substituindo
por
:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
para qualquer fluido. Observamos na relação derivada que
. Como a constante dos gases
é sempre positiva, isso significa que
é sempre maior ou igual a
.
A igualdade
ocorre quando
, o que não é fisicamente possível para gases reais. Portanto, para qualquer fluido real, sempre teremos
.
Resposta
Para um gás ideal, a relação entre as capacidades térmicas é
, e em geral, para qualquer fluido,
é maior ou igual a
. A igualdade
ocorre apenas quando a constante dos gases
é zero, o que não acontece nos casos reais.