Mostre que a relação entre CP e CV é dada por meio de:
3.12
Propriedades termodinâmicas
CP=CV-T(partial Vpartial T)P^2(partial Ppartial V)T
e calcule essa relação para um gás ideal. Mostre que CP >= CV para qualquer fluido. Em que condições valerá a igualdade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar a relação entre as capacidades térmicas a pressão constante ( CP) e a volume constante ( CV) usando uma fórmula termodinâmica específica. Além disso, precisamos calcular essa relação para um gás ideal e provar que sempre CP é maior ou igual a CV para qualquer fluido, e também descobrir em que situações elas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como capacidade térmica, derivadas parciais em termodinâmica e as propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a fórmula dada:
CP = CV - T(partial Vpartial T)P^2 (partial Ppartial V)T
Essa equação relaciona CP e CV através de derivadas parciais de volume em relação à temperatura e de pressão em relação ao volume. Nosso objetivo é entender de onde essa relação vem e como aplicá-la.

Passo 3

Para derivar essa relação, precisamos usar algumas propriedades termodinâmicas. Uma delas é a primeira lei da termodinâmica e as relações de Maxwell, que conectam diferentes derivadas parciais. Sem entrar em muitos detalhes técnicos, a ideia é relacionar as mudanças de energia interna e entalpia com as variações de volume e temperatura. Ao manipular essas relações, conseguimos chegar à fórmula apresentada inicialmente.

Passo 4

Agora, vamos calcular essa relação para um gás ideal. Sabemos que para um gás ideal, temos a equação de estado:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão
  • V é o volume
  • n é a quantidade de substância
  • R é a constante dos gases
  • T é a temperatura
Vamos calcular as derivadas necessárias:
  1. (partial Vpartial T)P = nRP
  2. (partial Ppartial V)T = -nRTV^2
Substituindo na fórmula:
CP = CV - T(nRP)^2 (-nRTV^2)
Simplificando:
CP = CV + nR^2 T^2P V^2 cdot (-1)
Mas sabemos que PV = nRT, então substituindo P V por nRT:
CP = CV + R

Passo 5

Agora, vamos mostrar que CP >= CV para qualquer fluido. Observamos na relação derivada que CP = CV + R. Como a constante dos gases R é sempre positiva, isso significa que CP é sempre maior ou igual a CV.
A igualdade CP = CV ocorre quando R = 0, o que não é fisicamente possível para gases reais. Portanto, para qualquer fluido real, sempre teremos CP > CV.

Resposta

Para um gás ideal, a relação entre as capacidades térmicas é CP = CV + R, e em geral, para qualquer fluido, CP é maior ou igual a CV. A igualdade CP = CV ocorre apenas quando a constante dos gases R é zero, o que não acontece nos casos reais.

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