Calcule a integral de linha para cada campo vetorial F e curva C parametrizada por r(t) : \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}, 4 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}\right), \mathrm{r}(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{3}, \mathrm{t}^{2}\right),-2 \leq t \leq 2
Passo 1
O enunciado nos pede calcular a integral de linha
\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r
para o campo vetorial
\mathbf F(x,y) = (\,3x - 2y,\;4x^2y)
e a curva parametrizada
\mathbf r(t) = (\,t^3,\;t^2),\quad -2\le t\le 2.
O conteúdo aqui é aplicação direta da definição de integral de linha para campos vetoriais em \mathbb R^2:
\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_{a}^{b}\mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\cdot \mathbf r'(t)\,dt.
Passo 2
Primeiro encontramos a derivada da parametrização: