Calcule a integral de linha para cada campo vetorial F e curva C parametrizada por r(t) :
\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}, 4 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}\right), \mathrm{r}(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{3}, \mathrm{t}^{2}\right),-2 \leq t \leq 2

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral de linha
\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r
para o campo vetorial
\mathbf F(x,y) = (\,3x - 2y,\;4x^2y)
e a curva parametrizada
\mathbf r(t) = (\,t^3,\;t^2),\quad -2\le t\le 2.
O conteúdo aqui é aplicação direta da definição de integral de linha para campos vetoriais em \mathbb R^2:
\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_{a}^{b}\mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\cdot \mathbf r'(t)\,dt.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada da parametrização:
\mathbf r(t) = (x(t),y(t))=(t^3,t^2)\quad\Longrightarrow\quad \mathbf r'(t)=(x'(t),y'(t))=(3t^2,2t).

Passo 3

Substituímos na integranda:
\mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr) = \bigl(3x(t)-2y(t),\,4\,[x(t)]^2\,y(t)\bigr) = \bigl(3t^3-2t^2,\;4\,t^6\cdot t^2\bigr) = \bigl(3t^3-2t^2,\;4t^8\bigr).
O produto escalar com \mathbf r'(t) é
\bigl(3t^3-2t^2,\,4t^8\bigr)\cdot(3t^2,2t) = (3t^3-2t^2)\cdot3t^2 \;+\; (4t^8)\cdot2t = 9t^5 -6t^4 +8t^9.

Passo 4

Agora integramos de -2 a 2:
\int_{-2}^{2}\bigl(9t^5 -6t^4 +8t^9\bigr)\,dt = \underbrace{\int_{-2}^{2}9t^5\,dt}_{0} -6\int_{-2}^{2}t^4\,dt +\underbrace{\int_{-2}^{2}8t^9\,dt}_{0}.
Os termos 9t^5 e 8t^9 são funções ímpares, logo suas integrais simétricas de -2 a 2 valem zero. Resta
-6\int_{-2}^{2}t^4\,dt = -6 \cdot 2\int_{0}^{2}t^4\,dt = -12\cdot\left[\frac{t^5}{5}\right]_{0}^{2} = -12\cdot\frac{32}{5} = -\frac{384}{5}.

Resposta

\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r = -\frac{384}{5}.

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