Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
s(x)=2 \sqrt{2 x+2}

Passo 1

O enunciado dá a função s(x)=2\sqrt{2x+2} e pede três coisas:
  • Fazer o gráfico a partir do gráfico de uma função elementar e aplicando transformações (translações, alongamentos/compressões, reflexões, modulações) e explicar quais são essas transformações.
  • Determinar o domínio de s.
  • Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de s.
Informações dadas:
  • A expressão explícita da função é s(x)=2\sqrt{2x+2}.

Passo 2

Escolhemos como função elementar de partida a função raiz quadrada padrão \,f(x)=\sqrt{x}\,. Vou recordar suas propriedades básicas (para depois vermos as transformações):
  • Domínio de f: [0,\infty).
  • Imagem de f: [0,\infty).
  • Pontos simples no gráfico de f: (0,0), (1,1), (4,2).
  • Forma: crescente, começa em y=0 em x=0, cresce devagar e é côncava para baixo.
Isso serve como referência para aplicar transformações passo a passo.

Passo 3

Reescrevo s(x) de formas que deixam as transformações explícitas:
s(x)=2\sqrt{2x+2}=2\sqrt{2(x+1)}.
Outra forma útil (tirando \sqrt{2} para fora) é
s(x)=2\sqrt{2}\,\sqrt{x+1}=(2\sqrt{2})\sqrt{x+1}.
Ambas as escritas são equivalentes; cada uma ajuda a interpretar transformações diferentes (internas = horizontais; externas = verticais).

Passo 4

Identificação das transformações (explicação conceitual):
  • Substituição interna do tipo x\mapsto x+1 corresponde a uma translação horizontal. Em geral, f(x+1) desloca o gráfico de f uma unidade para a esquerda.
  • Substituição interna do tipo x\mapsto 2x (fator 2 multiplicando x por dentro) corresponde a uma compressão horizontal por fator 1/2 (ou seja, as abscissas são divididas por 2).
  • Multiplicação externa por 2 (ou por 2\sqrt{2}) corresponde a um esticamento vertical: todos os valores de y são multiplicados por esse fator.
  • Não há reflexão (não há sinal negativo multiplicando fora ou dentro) nem modulação oscilatória. A ordem interna de operações importa porque a compressão horizontal e a translação interna combinam-se conforme 2(x+1).

Passo 5

Vou escolher uma sequência clara de interpretação compatível com a forma s(x)=2\sqrt{2(x+1)}. A composição interna é h(x)=2(x+1) (ou seja, primeiro x\mapsto x+1 depois x\mapsto 2x). Assim, as transformações aplicadas a f(x)=\sqrt{x} são:
  1. Translação horizontal para a esquerda em 1 unidade: f(x)\mapsto f(x+1)=\sqrt{x+1}.
  2. Compressão horizontal por fator 1/2: \sqrt{x+1}\mapsto \sqrt{2(x+1)}. (Isso faz as abscissas encolherem pela metade.)
  3. Estiramento vertical por fator 2: \sqrt{2(x+1)}\mapsto 2\sqrt{2(x+1)}.
Observação alternativa (equivalente): escrevendo s(x)=(2\sqrt{2})\sqrt{x+1} vê-se diretamente uma translação à esquerda de 1 seguida de um esticamento vertical global por 2\sqrt{2}. As duas descrições são matematicamente equivalentes; eu uso a sequência 1→2→3 porque reflete a forma 2\sqrt{2(x+1)}.

Passo 6

Mapeamento de pontos do gráfico de f para pontos do gráfico de s (método prático para desenhar):
  • Em f um ponto genérico (u,\sqrt{u}). Para qual x em s esse valor aparece?
    Resolver 2(x+1)=u x=\dfrac{u}{2}-1. O valor em y será 2\sqrt{u}.
    Portanto o ponto (u,\sqrt{u}) de f corresponde ao ponto \Big(\dfrac{u}{2}-1,\;2\sqrt{u}\Big) em s.
  • Usando pontos fáceis de f:
    • Para u=0: ponto em s é \big(-1,0\big).
    • Para u=1: ponto em s é \big(-\tfrac{1}{2},2\big).
    • Para u=2: ponto em s é \big(0,2\sqrt{2}\big)\approx(0,2{,}828).
    • Para u=8: ponto em s é \big(3,4\sqrt{2}\big)\approx(3,5{,}657).
Esses pontos são suficientes para esboçar o gráfico: começa em (-1,0), sobe rápido perto de -1 e cresce de forma decrescente (côncava para baixo).

Passo 7

Comportamento local e derivadas (interpretação para a prova):
  • Derivada de s: calcular detalhadamente. s(x)=2(2x+2)^{1/2}.Aplicando a regra da cadeia, a derivada é s'(x)=2\cdot\frac{1}{2}(2x+2)^{-1/2}\cdot 2=\frac{2}{\sqrt{2x+2}}.Explicando: derivada de \sqrt{u} é u'/(2\sqrt{u}); aqui u=2x+2 tem u'=2; multiplicando pelo fator externo 2 resulta em s'(x)=2/\sqrt{2x+2}.
  • Isso mostra que s'(x)\to\infty quando x\to -1^+: o gráfico tem uma tangente vertical infinita (ou seja, fica muito íngreme) à esquerda do domínio.
  • Segunda derivada (sinal) para ver concavidade: s''(x) = -2(2x+2)^{-3/2}<0\quad\text{para }x>-1,logo o gráfico é côncavo para baixo em todo o domínio.

Passo 8

Cálculo do domínio (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • A expressão dentro da raiz deve ser não negativa: 2x+2\ge 0.
  • Isolando x: 2x\ge -2 \quad\Rightarrow\quad x\ge -1.
  • Portanto o domínio é \mathrm{Dom}(s)=[-1,\infty).

Passo 9

Cálculo da imagem (nova explicação passo-a-passo):
  • A raiz produz sempre valores \ge 0. Aqui multiplicamos por 2>0, logo os valores possíveis de s(x) são também \ge 0.
  • Verificar valor mínimo: em x=-1 temos s(-1)=2\sqrt{2(-1)+2}=2\sqrt{0}=0. Para x\to\infty a função tende a \infty.
  • Assim a imagem é \mathrm{Im}(s)=[0,\infty).

Passo 10

Instruções resumidas para desenhar o gráfico na prova (passo-a-passo prático, “o que desenhar”):
  1. Marque o ponto inicial (-1,0) (ponto mais à esquerda do gráfico).
  2. Marque mais alguns pontos calculados: \big(-\tfrac{1}{2},2\big), \big(0,2\sqrt{2}\big)\approx(0,2{,}828), (3,4\sqrt{2})\approx(3,5{,}657).
  3. Lembre-se da forma: aumenta para a direita, muito íngreme perto de x=-1, depois cresce mais lentamente e é côncava para baixo.
  4. Trace uma curva suave ligando os pontos, começando em (-1,0) e subindo indefinidamente.

Passo 11

Resumo das transformações (forma curta, útil para anotar na prova):
  • Partir de f(x)=\sqrt{x}.
  • Aplicar translação horizontal para a esquerda em 1: x\mapsto x+1.
  • Aplicar compressão horizontal por fator 1/2 (substituir x por 2x internamente).
  • Aplicar esticamento vertical por fator 2 (multiplicação externa por 2).
    (Equivalente: deslocar para a esquerda 1 e multiplicar a saída por 2\sqrt{2}.)

Resposta

Transformações: translação horizontal para a esquerda em 1, compressão horizontal por fator 1/2, e esticamento vertical por 2.
Domínio: [ -1,\infty )
Imagem: [0,\infty)

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