Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Fazer o gráfico a partir do gráfico de uma função elementar e aplicando transformações (translações, alongamentos/compressões, reflexões, modulações) e explicar quais são essas transformações.
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Informações dadas:
- A expressão explícita da função é
.
Passo 2
Escolhemos como função elementar de partida a função raiz quadrada padrão
. Vou recordar suas propriedades básicas (para depois vermos as transformações):
- Domínio de
: . - Imagem de
: . - Pontos simples no gráfico de
: , , . - Forma: crescente, começa em
em , cresce devagar e é côncava para baixo.
Isso serve como referência para aplicar transformações passo a passo.
Passo 3
Reescrevo
de formas que deixam as transformações explícitas:
Outra forma útil (tirando
para fora) é
Ambas as escritas são equivalentes; cada uma ajuda a interpretar transformações diferentes (internas = horizontais; externas = verticais).
Passo 4
Identificação das transformações (explicação conceitual):
- Substituição interna do tipo
corresponde a uma translação horizontal. Em geral, desloca o gráfico de uma unidade para a esquerda. - Substituição interna do tipo
(fator multiplicando por dentro) corresponde a uma compressão horizontal por fator (ou seja, as abscissas são divididas por ). - Multiplicação externa por
(ou por ) corresponde a um esticamento vertical: todos os valores de são multiplicados por esse fator. - Não há reflexão (não há sinal negativo multiplicando fora ou dentro) nem modulação oscilatória. A ordem interna de operações importa porque a compressão horizontal e a translação interna combinam-se conforme
.
Passo 5
Vou escolher uma sequência clara de interpretação compatível com a forma
. A composição interna é
(ou seja, primeiro
depois
). Assim, as transformações aplicadas a
são:
- Translação horizontal para a esquerda em
unidade: . - Compressão horizontal por fator
: . (Isso faz as abscissas encolherem pela metade.) - Estiramento vertical por fator
: .
Observação alternativa (equivalente): escrevendo
vê-se diretamente uma translação à esquerda de
seguida de um esticamento vertical global por
. As duas descrições são matematicamente equivalentes; eu uso a sequência 1→2→3 porque reflete a forma
.
Passo 6
Mapeamento de pontos do gráfico de
para pontos do gráfico de
(método prático para desenhar):
- Em
um ponto genérico . Para qual em esse valor aparece?
Resolverdá . O valor em será .
Portanto o pontode corresponde ao ponto em . - Usando pontos fáceis de
: - Para
: ponto em é . - Para
: ponto em é . - Para
: ponto em é . - Para
: ponto em é .
- Para
Esses pontos são suficientes para esboçar o gráfico: começa em
, sobe rápido perto de
e cresce de forma decrescente (côncava para baixo).
Passo 7
Comportamento local e derivadas (interpretação para a prova):
- Derivada de
: calcular detalhadamente. Aplicando a regra da cadeia, a derivada é Explicando: derivada de é ; aqui tem ; multiplicando pelo fator externo resulta em . - Isso mostra que
quando : o gráfico tem uma tangente vertical infinita (ou seja, fica muito íngreme) à esquerda do domínio. - Segunda derivada (sinal) para ver concavidade:
logo o gráfico é côncavo para baixo em todo o domínio.
Passo 8
Cálculo do domínio (passo-a-passo, sem pular etapas):
- A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
- Isolando
: - Portanto o domínio é
Passo 9
Cálculo da imagem (nova explicação passo-a-passo):
- A raiz produz sempre valores
. Aqui multiplicamos por , logo os valores possíveis de são também . - Verificar valor mínimo: em
temos . Para a função tende a . - Assim a imagem é
Passo 10
Instruções resumidas para desenhar o gráfico na prova (passo-a-passo prático, “o que desenhar”):
- Marque o ponto inicial
(ponto mais à esquerda do gráfico). - Marque mais alguns pontos calculados:
, , . - Lembre-se da forma: aumenta para a direita, muito íngreme perto de
, depois cresce mais lentamente e é côncava para baixo. - Trace uma curva suave ligando os pontos, começando em
e subindo indefinidamente.
Passo 11
Resumo das transformações (forma curta, útil para anotar na prova):
- Partir de
. - Aplicar translação horizontal para a esquerda em
: . - Aplicar compressão horizontal por fator
(substituir por internamente). - Aplicar esticamento vertical por fator
(multiplicação externa por ).
(Equivalente: deslocar para a esquerdae multiplicar a saída por .)
Resposta
Transformações: translação horizontal para a esquerda em
, compressão horizontal por fator
, e esticamento vertical por
.
Domínio:
Imagem:
Domínio:
Imagem: