Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente faça o gráfico da função
começando de uma função elementar e aplicando transformações (translações, alongamentos/compressões, reflexões, modulações quando houver). Também é pedido determinar o domínio e a imagem (contracheque final). Informações úteis dadas: a fórmula da função exatamente como acima.
Passo 2
Simplificar a expressão para enxergar melhor as transformações. Factorizando o argumento da raiz:
Uma forma alternativa que dá a mesma ideia é
pois
. Isso já mostra que a função pode ser obtida a partir da função elementar
aplicando duas transformações: uma translação horizontal e um escalonamento vertical.
Passo 3
Explicar os tipos de transformações que vamos usar (com linguagem simples):
- Translação horizontal: substituir
por desloca o gráfico de uma unidade para a esquerda. Em geral, desloca para a direita se e para a esquerda se . - Escalonamento vertical (alongamento/compressão): multiplicar a função por um fator
troca por . Se , o gráfico estica verticalmente (alongamento); se , o gráfico comprime verticalmente (compressão). Se também há reflexão em torno do eixo . - Reflexão horizontal/vertical: trocar o sinal no argumento (por exemplo
) reflete horizontalmente; multiplicar por reflete verticalmente. - Modulação (aqui não se aplica): geralmente significa multiplicar por uma função oscilante; não vamos usar porque
não tem termo oscilante.
No nosso caso específico:
- Temos
dentro da raiz → translação horizontal para a esquerda de unidade. - Temos o fator multiplicativo
(positivo e menor que ) → compressão vertical por fator (ou escala vertical ). Não há reflexão (fator positivo) e não há modulação.
Passo 4
Aplicar as transformações passo a passo, partindo de
.
-
Começar com
. Esse gráfico começa em , cresce para a direita, sempre . Alguns pontos óbvios: , , . -
Aplicar a translação horizontal: formar
. Isso é substituir por , que desloca o gráfico 1 unidade para a esquerda. O ponto inicial que era em passa a ser em . Em , , , (note que e ). -
Aplicar a compressão vertical por
: definir
Isso mantém as abscissas dos pontos, mas reduz as ordenadas multiplicando por
. Assim:
- O ponto inicial
permanece (porque vezes qualquer coisa é ). -
vira . -
vira .
Esses pontos são suficientes para esboçar o gráfico: começa em
e sobe suavemente para a direita, sempre com crescimento decrescente (a inclinação diminui conforme
aumenta, como em toda raiz quadrada).
Observação sobre a ordem: se preferir ver a transformação dentro do argumento, poderia imaginar primeiro multiplicar o
por
(compressão horizontal por
) e depois transladar — mas a forma simplificada que usamos (
dentro da raiz e fator multiplicativo externo) é mais direta e evita confusão. Aqui a decomposição em
acompanhada do multiplicador externo
resultou no mesmo efeito vertical final
.
Passo 5
Calcular explicitamente domínio. A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo:
Portanto o domínio é
Passo 6
Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
). Como
para
e o fator multiplicativo
é positivo, temos
. A raiz cresce sem limite superior quando
, então
também cresce sem limite superior. Portanto a imagem é
Passo 7
Pontos notáveis e esboço prático (como fazer o desenho rápido na prova):
- Ponto inicial (vértice) onde a raiz começa:
. - Outro ponto fácil:
→ . - Outro:
→ . - Para esboçar: marque
, , e desenhe a curva típica de raiz quadrada que cresce à direita, achatando à medida que aumenta.
Dica de desenho mental: compare com— só que o gráfico está deslocado 1 para a esquerda e “mais baixo” verticalmente por um fator .
Passo 8
Resumo das transformações aplicadas (em ordem prática e em palavras amigáveis):
- Começa com
. - Translada-se horizontalmente 1 unidade para a esquerda, obtendo
. - Comprime-se verticalmente multiplicando por
, obtendo . Não há reflexão nem modulação.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: