Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
r(x)=\frac{1}{2} \sqrt{2 x+2}

Passo 1

O enunciado pede que a gente faça o gráfico da função
r(x)=\frac{1}{2}\sqrt{2x+2},
começando de uma função elementar e aplicando transformações (translações, alongamentos/compressões, reflexões, modulações quando houver). Também é pedido determinar o domínio e a imagem (contracheque final). Informações úteis dadas: a fórmula da função exatamente como acima.

Passo 2

Simplificar a expressão para enxergar melhor as transformações. Factorizando o argumento da raiz:
r(x)=\frac{1}{2}\sqrt{2x+2}=\frac{1}{2}\sqrt{2(x+1)}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\,\sqrt{x+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\,\sqrt{x+1}.
Uma forma alternativa que dá a mesma ideia é
r(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{x+1},
pois \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Isso já mostra que a função pode ser obtida a partir da função elementar f(x)=\sqrt{x} aplicando duas transformações: uma translação horizontal e um escalonamento vertical.

Passo 3

Explicar os tipos de transformações que vamos usar (com linguagem simples):
  • Translação horizontal: substituir x por x+1 desloca o gráfico de f(x) uma unidade para a esquerda. Em geral, f(x-h) desloca para a direita se h>0 e para a esquerda se h<0.
  • Escalonamento vertical (alongamento/compressão): multiplicar a função por um fator a troca f(x) por a f(x). Se |a|>1, o gráfico estica verticalmente (alongamento); se 0<|a|<1, o gráfico comprime verticalmente (compressão). Se a<0 também há reflexão em torno do eixo x.
  • Reflexão horizontal/vertical: trocar o sinal no argumento (por exemplo f(-x)) reflete horizontalmente; multiplicar por -1 reflete verticalmente.
  • Modulação (aqui não se aplica): geralmente significa multiplicar por uma função oscilante; não vamos usar porque r não tem termo oscilante.
No nosso caso específico:
  • Temos x+1 dentro da raiz → translação horizontal para a esquerda de 1 unidade.
  • Temos o fator multiplicativo \dfrac{1}{\sqrt{2}} (positivo e menor que 1) → compressão vertical por fator \dfrac{1}{\sqrt{2}} (ou escala vertical a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}). Não há reflexão (fator positivo) e não há modulação.

Passo 4

Aplicar as transformações passo a passo, partindo de f(x)=\sqrt{x}.
  1. Começar com f(x)=\sqrt{x}. Esse gráfico começa em (0,0), cresce para a direita, sempre f(x)\ge 0. Alguns pontos óbvios: f(0)=0, f(1)=1, f(4)=2.
  2. Aplicar a translação horizontal: formar g(x)=\sqrt{x+1}. Isso é substituir x por x+1, que desloca o gráfico 1 unidade para a esquerda. O ponto inicial que era (0,0) em f passa a ser (-1,0) em g. Em g, g(-1)=0, g(0)=1, g(3)=2 (note que g(0)=\sqrt{1}=1 e g(3)=\sqrt{4}=2).
  3. Aplicar a compressão vertical por a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}: definir
r(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\;g(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x+1}.
Isso mantém as abscissas dos pontos, mas reduz as ordenadas multiplicando por 1/\sqrt{2}\approx 0{,}7071. Assim:
  • O ponto inicial (-1,0) permanece (-1,0) (porque 0 vezes qualquer coisa é 0).
  • g(0)=1 vira r(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071.
  • g(3)=2 vira r(3)=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx1{,}4142.
Esses pontos são suficientes para esboçar o gráfico: começa em (-1,0) e sobe suavemente para a direita, sempre com crescimento decrescente (a inclinação diminui conforme x aumenta, como em toda raiz quadrada).
Observação sobre a ordem: se preferir ver a transformação dentro do argumento, poderia imaginar primeiro multiplicar o x por 2 (compressão horizontal por 1/2) e depois transladar — mas a forma simplificada que usamos ( x+1 dentro da raiz e fator multiplicativo externo) é mais direta e evita confusão. Aqui a decomposição em \sqrt{2}\sqrt{x+1} acompanhada do multiplicador externo \tfrac{1}{2} resultou no mesmo efeito vertical final \tfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Calcular explicitamente domínio. A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo:
2x+2\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+1\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -1.
Portanto o domínio é
\text{Dom}(r)=[-1,\infty).

Passo 6

Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de r(x)). Como \sqrt{x+1}\ge 0 para x\ge -1 e o fator multiplicativo \dfrac{1}{\sqrt{2}} é positivo, temos r(x)\ge 0. A raiz cresce sem limite superior quando x\to\infty, então r(x) também cresce sem limite superior. Portanto a imagem é
\text{Im}(r)=[0,\infty).

Passo 7

Pontos notáveis e esboço prático (como fazer o desenho rápido na prova):
  • Ponto inicial (vértice) onde a raiz começa: (-1,0).
  • Outro ponto fácil: x=0 r(0)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071.
  • Outro: x=3 r(3)=\dfrac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{2}\approx 1{,}4142.
  • Para esboçar: marque (-1,0), (0,0{,}707), (3,1{,}414) e desenhe a curva típica de raiz quadrada que cresce à direita, achatando à medida que x aumenta.
    Dica de desenho mental: compare com y=\sqrt{x} — só que o gráfico está deslocado 1 para a esquerda e “mais baixo” verticalmente por um fator 1/\sqrt{2}.

Passo 8

Resumo das transformações aplicadas (em ordem prática e em palavras amigáveis):
  • Começa com f(x)=\sqrt{x}.
  • Translada-se horizontalmente 1 unidade para a esquerda, obtendo \sqrt{x+1}.
  • Comprime-se verticalmente multiplicando por 1/\sqrt{2}, obtendo r(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x+1}. Não há reflexão nem modulação.

Resposta

Domínio: [-1,\infty)
Imagem: [0,\infty)

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