Calcule a circulação do campo F(x, y, z)=(z-y, ln (1+y^2), ln (1+z^2)+y) ao redor da curva C, no sentido horário quando vista da origem.
Onde a curva C é obtida como interseção do cilindro x^2+y^2=16 com o plano x+z=4.

Passo 1

O enunciado pede a circulação
oint Cvec Fcdot dvec r
do campo
vec F(x,y,z) = (,z-y,;ln(1+y^2),;ln(1+z^2)+y)
na curva C, interseção do cilindro x^2+y^2=16 com o plano x+z=4, orientada no sentido horário quando vista da origem.
Conteúdo: aplicar o Teorema de Stokes, calculando nablatimesvec F e integrando sobre a superfície plana limitada por C.

Passo 2

Calcular o rotacional
nablatimesvec F = i & j & k partialx & partialy & partialz z-y & ln(1+y^2) & ln(1+z^2)+y = (1,;1,;1)

Passo 3

Escolhemos a superfície S dentro do plano x+z=4, parametrizada por
vec r(x,y) = l(x,;y,;4-xr), (x,y)in D=x^2+y^2<=16

Passo 4

Calculamos
vec rx=(1,0,-1), vec ry=(0,1,0),
vec rxtimesvec ry = (1,0,1)
Pelo Teorema de Stokes,
oint Cvec Fcdot dvec r =integral duplaD(nablatimesvec F)cdot(vec rxtimesvec ry),dA =integral duplaD(1,1,1)cdot(1,0,1),dA =integral duplaD2,dA =2cdotl(picdot4^2r) =32pi

Passo 5

Verificamos que o vetor normal (1,0,1) aponta para o lado oposto à origem, de modo que a orientação induzida em partial S aparece horário quando vista da origem, conforme exigido. Logo não há troca de sinal.

Resposta

32pi

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