Calcule integralC F cdot d r, para o campo vetorial F(x, y)=(e^y+y e^x) i+(x e^y+e^x) j ao longo da curva x=y^2-1 de (0,1) até (0,-1).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integralCFcdot dr,
onde
F(x,y)=l(e^y+y,e^xr)i+l(x,e^y+e^xr)j
e C é a curva dada por x=y^2-1 de (0,1) até (0,-1).
Identificamos que, se F for conservativo, podemos usar um potencial phi e basta avaliar phi nos extremos da curva.

Passo 2

Verificamos a conservatividade comparando
P(x,y)=e^y+y,e^x, Q(x,y)=x,e^y+e^x
Calculemos
partial Ppartial y =e^y+e^x, partial Qpartial x =e^y+e^x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo em todo R^2.

Passo 3

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x =P(x,y)=e^y+y,e^x
Integrando em x,
phi(x,y) =integrall(e^y+y,e^xr),dx =x,e^y+y,e^x+C(y),
onde C(y) é função a determinar. Agora impomos
partial phipartial y =x,e^y+e^x+C'(y) stackrel!=Q(x,y)=x,e^y+e^x,
de onde C'(y)=0 e, sem perda, C(y)=0. Assim
phi(x,y)=x,e^y+y,e^x

Passo 4

Usamos o Teorema Fundamental para campos conservativos:
integralCFcdot dr =phil(xf,yfr)-phil(xi,yir)
Aqui (xi,yi)=(0,1) e (xf,yf)=(0,-1). Calculamos
phi(0,1) =0cdot e^1+1cdot e^0=1, phi(0,-1) =0cdot e^-1+(-1)cdot e^0=-1
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integralCFcdot dr =phi(0,-1)-phi(0,1) =-1-1=-2

Resposta

-2

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