Faça o gráfico, encontre o Domínio e a das funções abaixo
Passo 1
Temos a função definida por partes
f(x)=|x^2-1|,&-1<= x<=2x-1,&24
O conteúdo é função de variável real definida por partes; vamos precisar identificar o domínio, esboçar cada trecho no gráfico e depois achar a imagem.
Passo 2
Para achar o domínio, basta reunir todos os valores de x onde f está definida: no primeiro trecho temos x em [-1,2], no segundo em (2,3) e no terceiro em (4,infty). Unindo esses intervalos, obtemos
Df=[-1,2]cup(2,3)cup(4,infty)=[-1,3)cup(4,infty)
Passo 3
No gráfico, cada trecho se comporta assim:
Para x em [-1,2]: f(x)=|x^2-1|. Como x^2-1 é negativo em [-1,1], temos f(x)=1-x^2 aí (uma parábola invertida), e em [1,2] vale f(x)=x^2-1 (parábola normal).
Para x em (2,3): f(x)=x-1, um segmento de reta que vai de y≈1 em x→2+ até y→2 em x→3−, sem incluir as extremidades.
Para x>4: f(x)=4, uma reta horizontal em y=4 para todo x>4.
Passo 4
Agora a imagem de cada trecho:
Em [-1,2], o valor mínimo de |x^2-1| é 0 (em x=±1) e o máximo é 3 (em x=2), logo o alcance é [0,3].
Em (2,3), x-1 varia de 1 a 2, mas sem incluir 1 nem 2, então é (1,2), que já está dentro de [0,3].
Em (4,infty), f(x)=4, gerando só o valor 4.
Passo 5
Unindo tudo, a imagem total é
Imf=[0,3]cup4
Resposta
Gráfico de f(x):
– De x=–1 a x=1, curva y=1–x²
– De x=1 a x=2, curva y=x²–1
– De x∈(2,3), segmento de reta y=x–1
– Para x>4, reta horizontal y=4
Domínio: D_f=[-1,3)∪(4,∞)
Imagem: Im_f=[0,3]∪{4}