Exercício 6: Mostre um exemplo de uma sequiência
e um conjunto
tal que
mas
.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de sequência e conjunto A tais que todos os termos da sequência estejam em A mas o limite da sequência não pertença a A. Isso envolve conceitos de limite de sequência e de inclusão de conjuntos.
Passo 2
Uma escolha simples é a sequência
e o conjunto
.
Passo 3
Para verificar que cada termo
está em A, note que para todo
, temos
e também
, logo
.
Passo 4
O limite da sequência é
pela definição de limite de sequência, já que os termos se aproximam cada vez mais de 0.
Passo 5
Como
, concluímos que
mas
, satisfazendo o que se pedia.
Resposta
Por exemplo, a sequência
e o conjunto
satisfazem
e
.