Exercício 6: Mostre um exemplo de uma sequiência A e um conjunto lim an notin A tal que mas .

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência e conjunto A tais que todos os termos da sequência estejam em A mas o limite da sequência não pertença a A. Isso envolve conceitos de limite de sequência e de inclusão de conjuntos.

Passo 2

Uma escolha simples é a sequência an = 1n e o conjunto A = (0,1).

Passo 3

Para verificar que cada termo an está em A, note que para todo n in N, temos an = 1n > 0 e também 1n < 1, logo an in (0,1).

Passo 4

O limite da sequência é
limn to infty an = limn to infty 1n = 0,
pela definição de limite de sequência, já que os termos se aproximam cada vez mais de 0.

Passo 5

Como 0 notin (0,1), concluímos que an mid n in N subset A mas lim an = 0 notin A, satisfazendo o que se pedia.

Resposta

Por exemplo, a sequência an = 1n e o conjunto A = (0,1) satisfazem an mid n in N subset A e lim an = 0 notin A.

Exercícios relacionados