Faça o gráfico de f: R R dada por f(x)=|x^2|-|x|+1.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
fcolon RtoR, f(x)=lvert x^2rvert - lvert xrvert +1
O conteúdo aqui é manipular valores absolutos para escrever f de forma piecewise e depois esboçar duas parábolas simétricas.

Passo 2

Note que lvert x^2rvert = x^2 para todo x. Assim
f(x)=x^2-lvert xrvert +1
Agora dividimos em dois casos: para x>=0 temos lvert xrvert=x e para x<0 temos lvert xrvert=-x.

Passo 3

Para x>=0:
f(x)=x^2-x+1,
que é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo. O vértice dessa parábola ocorre em
x=-(-1)2cdot1=tfrac12,
e
fl(tfrac12r)=tfrac14-tfrac12+1=tfrac34
Para x<0:
f(x)=x^2+x+1,
também parábola de concavidade para cima, com vértice em
x=-12cdot1=-tfrac12,
e
fl(-tfrac12r)=tfrac14-tfrac12+1=tfrac34

Passo 4

Algumas características-chave para o esboço:
– Simetria par, pois f(-x)=(-x)^2-lvert -xrvert+1=x^2-lvert xrvert+1=f(x).
– Valor em x=0:
f(0)=0^2-0+1=1
– Mínimos globais nos vértices l(pmtfrac12,tfrac34r).
f(x)to+infty quando lvert xrverttoinfty.
– Em x=0 a derivada sofre salto: f'(0^-) = +1, f'(0^+)= -1, gerando um “cúspide”.
Com esses pontos e as duas parábolas basta traçar:
para x<0, a curva de x^2+x+1;
para x>=0, a curva de x^2-x+1;
assegurando que elas se encontrem em (0,1) e atinjam o mínimo tfrac34 em x=pmtfrac12.

Resposta

O gráfico é dado pela curva
f(x)= x^2+x+1, & x<0, x^2-x+1, & x>=0,
que consiste em duas parábolas simétricas, com vértices em l(-tfrac12,tfrac34r) e l(tfrac12,tfrac34r), ponto em (0,1), e cresce para +infty à medida que lvert xrvert aumenta.

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