Exercício 3.8.1. Mostre que:
integral1^2 x d xraizx-1=83

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral1^2xraizx-1,dx
O conteúdo da matéria é mudança de variável em integrais definidas. Vamos usar a substituição adequada para simplificar a raiz no denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x - 1,
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x = u + 1 e dx = du
Quando x=1, u=0; quando x=2, u=1. Assim a integral vira
integral1^2xraizx-1,dx = integral0^1u+1raizu,du

Passo 3

Para simplificar o integrando, note que
u+1raizu = uraizu + 1raizu = u^1/2 + u^-1/2
Assim a integral fica
integral0^1l(u^1/2 + u^-1/2r),du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral u^1/2,du = 23u^3/2, integral u^-1/2,du = 2u^1/2
Logo o antiderivado é
23u^3/2 + 2u^1/2

Passo 5

Basta avaliar nos limites de 0 a 1:
[23u^3/2 + 2u^1/2]0^1 = l(tfrac23cdot1 + 2cdot1r) - 0 = 23 + 2 = 83

Resposta

83

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