1. Faça um gráfico de \ln \left(\frac{V_{R}}{V_{\text {max }}}\right) em função do tempo t.
  2. Através de regressão linear, determine os coeficientes da reta que melhor se ajustam aos pontos.
  3. Determine a constante \tau através do coeficiente angular desta reta.

Passo 1

O enunciado pede 3 coisas:
  1. Fazer um gráfico de \ln\!\left(\dfrac{V_{R}}{V_{\text{max}}}\right) em função do tempo t.
  2. Através de regressão linear, determinar os coeficientes da reta que melhor se ajustam aos pontos desse gráfico.
  3. Determinar a constante \tau a partir do coeficiente angular (inclinação) dessa reta.
Informações fornecidas no enunciado que eu tenho: somente as instruções acima.
Informações importantes que faltam (necessárias para completar os pedidos): os dados experimentais — isto é, os pares (t_i, V_{R,i}) ou diretamente (t_i, V_{R,i}/V_{\text{max}}) para cada medida. Sem esses pontos não há como traçar o gráfico nem calcular a regressão nem obter \tau.

Passo 2

Eu não posso traçar o gráfico nem fazer a regressão sobre os pontos reais porque os dados numéricos (os valores de t e de V_R ou V_R/V_{\text{max}}) não foram fornecidos. Vou, no entanto, ensinar passo a passo, de maneira prática e sem pular etapas, exatamente o que você deve fazer quando tiver os dados — assim você aplica direto na prova ou me manda os dados e eu calculo pra você.

Passo 3

Modelo teórico e transformação que gera a reta.
  • O modelo típico de descarga/exponencial que relaciona a tensão com tempo é
\frac{V_R(t)}{V_{\text{max}}} = e^{-t/\tau}.
Aqui \tau é a constante de tempo que queremos determinar, t é o tempo e V_R(t) é a tensão medida no tempo t.
  • Tomando logaritmo natural dos dois lados obtemos a relação linear:
\ln\!\left(\frac{V_R(t)}{V_{\text{max}}}\right) = -\frac{t}{\tau}.
Definindo y=\ln\!\left(\frac{V_R}{V_{\text{max}}}\right) e x=t, isso é uma reta do tipo
y = a + b\,x,
onde, teoricamente, a=0 e b=-\dfrac{1}{\tau}. Na prática experimental o intercepto a pode diferir de zero por erros sistemáticos, ruído, offset, etc.

Passo 4

Como construir o gráfico (passo a passo prático)
  1. Para cada medida i, com tempo t_i e tensão V_{R,i}, calcule primeiro a razão
r_i = \frac{V_{R,i}}{V_{\text{max}}},
verificando que r_i>0 (o logaritmo só é definido para valores positivos). Se algum r_i\le 0 houve erro na medição ou no registro.
  1. Calcule
y_i = \ln(r_i) = \ln\!\left(\frac{V_{R,i}}{V_{\text{max}}}\right).
  1. Monte uma tabela com colunas: t_i, r_i, y_i. Para a regressão você também precisará de t_i^2 e t_i y_i.
  2. No papel (ou numa planilha/Excel) trace o gráfico com eixo horizontal t e eixo vertical y=\ln(V_R/V_{\text{max}}). Deve aparecer uma nuvem de pontos aproximadamente alinhada numa reta com declive negativo.

Passo 5

Fazer a regressão linear (fórmulas e como calcular à mão)
Se você ajustar uma reta com intercepto livre y = a + b x, os coeficientes de mínimos quadrados são dados por:
  • Defina n como número de pontos, \sum t_i, \sum y_i, \sum t_i^2 e \sum t_i y_i.
  • As fórmulas são
b = \frac{n\sum_{i} t_i y_i - \left(\sum_{i} t_i\right)\left(\sum_{i} y_i\right)}{n\sum_{i} t_i^2 - \left(\sum_{i} t_i\right)^2},
a = \bar{y} - b\,\bar{t},
onde
\bar{t}=\frac{1}{n}\sum_{i} t_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i} y_i.
Explanação das fórmulas (sem pular passos):
  • Você calcula todas as somas: \sum t_i, \sum y_i, \sum t_i^2, \sum t_i y_i.
  • Substitui nas expressões acima para obter b e depois a.
  • Essas fórmulas vêm de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos S=\sum_i (y_i - a - b t_i)^2 e resolvendo \partial S/\partial a=0, \partial S/\partial b=0 — o resultado dá as duas equações normais que levam às fórmulas mostradas.

Passo 6

Caso especial: forçar a reta a passar pela origem
  • Teoria prevê a=0. Se você quiser forçar o ajuste por origem (útil quando confia que V_R/V_{\text{max}}=1 em t=0 e não há offset), use a fórmula de mínimos quadrados sem intercepto:
b_{\text{orig}} = \frac{\sum_{i} t_i y_i}{\sum_{i} t_i^2}.
  • Neste caso a reta é y = b_{\text{orig}}\,x.
Observação prática: compare o valor do intercepto a obtido no ajuste livre com 0. Se |a| for pequeno em relação à variação de y, forçar a origem costuma ser razoável; se a for significativo, mantenha o ajuste com intercepto.

Passo 7

Como obter \tau a partir da inclinação
  • Depois de obter a inclinação b (do ajuste com intercepto ou do ajuste forçado), a relação entre b e \tau é, pela transformação feita no Passo 3,
b = -\frac{1}{\tau}.
  • Portanto
\tau = -\frac{1}{b}.
  • Se você usou a versão forçada pela origem com inclinação b_{\text{orig}}, então
\tau = -\frac{1}{b_{\text{orig}}}.
Lembre-se que b deve ser negativo; se obtiver b>0 isso indica problema nos dados ou na transformação.

Passo 8

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar contas; estes números são fictícios — não os use como sua resposta, aplique o procedimento aos seus dados reais)
Suponha três medidas (fictícias) para ver o procedimento:
t_1=0, V_{R,1}/V_{\text{max}}=1; t_2=1, V_{R,2}/V_{\text{max}}=0,37; t_3=2, V_{R,3}/V_{\text{max}}=0,14.
  1. Calcule y_i=\ln(r_i): y_1=\ln(1)=0, y_2=\ln(0,37)\approx -0,994, y_3=\ln(0,14)\approx -1,966.
  2. Monte somas: n=3, \sum t_i = 3, \sum y_i\approx -2,960, \sum t_i^2=0^2+1^2+2^2=5, \sum t_i y_i = 0\cdot0 + 1\cdot(-0,994) + 2\cdot(-1,966)\approx -4,926.
  3. Slope com intercepto livre:
b = \frac{3(-4,926) - (3)(-2,960)}{3(5) - 3^2} = \frac{-14,778 + 8,880}{15-9} = \frac{-5,898}{6} \approx -0,983.
  1. Intercepto:
\bar t = 1,\quad \bar y \approx -0,987,\quad a = \bar y - b\bar t \approx -0,987 - (-0,983)(1) \approx -0,004.
  1. Então b\approx -0,983 e \tau \approx -1/b \approx 1,017 (unidades de tempo usadas).
Isto mostra como fazer passo a passo: calcular somas, aplicar fórmula, obter b e então \tau.

Passo 9

Dicas práticas finais e checagens rápidas
  • Verifique sempre se todos os r_i = V_{R,i}/V_{\text{max}} são positivos antes de aplicar ln.
  • Se estiver usando calculadora, software ou Excel: em Excel crie coluna com y_i=\ln(r_i) e use as funções =SLOPE(y_range,x_range) e =INTERCEPT(y_range,x_range) ou =LINEST. Para forçar origem use fórmulas alternativas (no Excel a SLOPE forçando origem requer manipular com somas).
  • Plote a reta ajustada sobre os pontos para ver se o ajuste faz sentido.
  • Se quiser, me envie os dados (t_i, V_{R,i}) que eu aplico exatamente estes passos e te retorno o gráfico, os coeficientes e \tau.

Resposta

Não é possível calcular a reta nem a constante \tau sem os dados (t_i, V_{R,i}) ou (t_i, V_{R,i}/V_{\text{max}}).

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