- Faça um gráfico de
em função do tempo
.
- Através de regressão linear, determine os coeficientes da reta que melhor se ajustam aos pontos.
- Determine a constante
através do coeficiente angular desta reta.
Passo 1
O enunciado pede 3 coisas:
- Fazer um gráfico de
em função do tempo . - Através de regressão linear, determinar os coeficientes da reta que melhor se ajustam aos pontos desse gráfico.
- Determinar a constante
a partir do coeficiente angular (inclinação) dessa reta.
Informações fornecidas no enunciado que eu tenho: somente as instruções acima.
Informações importantes que faltam (necessárias para completar os pedidos): os dados experimentais — isto é, os pares ou diretamente
para cada medida. Sem esses pontos não há como traçar o gráfico nem calcular a regressão nem obter
.
Informações importantes que faltam (necessárias para completar os pedidos): os dados experimentais — isto é, os pares
Passo 2
Eu não posso traçar o gráfico nem fazer a regressão sobre os pontos reais porque os dados numéricos (os valores de
e de
ou
) não foram fornecidos. Vou, no entanto, ensinar passo a passo, de maneira prática e sem pular etapas, exatamente o que você deve fazer quando tiver os dados — assim você aplica direto na prova ou me manda os dados e eu calculo pra você.
Passo 3
Modelo teórico e transformação que gera a reta.
- O modelo típico de descarga/exponencial que relaciona a tensão com tempo é
Aqui
é a constante de tempo que queremos determinar,
é o tempo e
é a tensão medida no tempo
.
- Tomando logaritmo natural dos dois lados obtemos a relação linear:
Definindo
e
, isso é uma reta do tipo
onde, teoricamente,
e
. Na prática experimental o intercepto
pode diferir de zero por erros sistemáticos, ruído, offset, etc.
Passo 4
Como construir o gráfico (passo a passo prático)
- Para cada medida i, com tempo
e tensão , calcule primeiro a razão
verificando que
(o logaritmo só é definido para valores positivos). Se algum
houve erro na medição ou no registro.
- Calcule
-
Monte uma tabela com colunas:
, , . Para a regressão você também precisará de e . -
No papel (ou numa planilha/Excel) trace o gráfico com eixo horizontal
e eixo vertical . Deve aparecer uma nuvem de pontos aproximadamente alinhada numa reta com declive negativo.
Passo 5
Fazer a regressão linear (fórmulas e como calcular à mão)
Se você ajustar uma reta com intercepto livre
, os coeficientes de mínimos quadrados são dados por:
-
Defina
como número de pontos, , , e . -
As fórmulas são
onde
Explanação das fórmulas (sem pular passos):
- Você calcula todas as somas:
, , , . - Substitui nas expressões acima para obter
e depois . - Essas fórmulas vêm de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
e resolvendo , — o resultado dá as duas equações normais que levam às fórmulas mostradas.
Passo 6
Caso especial: forçar a reta a passar pela origem
- Teoria prevê
. Se você quiser forçar o ajuste por origem (útil quando confia que em e não há offset), use a fórmula de mínimos quadrados sem intercepto:
- Neste caso a reta é
.
Observação prática: compare o valor do intercepto
obtido no ajuste livre com
. Se
for pequeno em relação à variação de
, forçar a origem costuma ser razoável; se
for significativo, mantenha o ajuste com intercepto.
Passo 7
Como obter
a partir da inclinação
- Depois de obter a inclinação
(do ajuste com intercepto ou do ajuste forçado), a relação entre e é, pela transformação feita no Passo 3,
- Portanto
- Se você usou a versão forçada pela origem com inclinação
, então
Lembre-se que
deve ser negativo; se obtiver
isso indica problema nos dados ou na transformação.
Passo 8
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar contas; estes números são fictícios — não os use como sua resposta, aplique o procedimento aos seus dados reais)
Suponha três medidas (fictícias) para ver o procedimento:
,
;
,
;
,
.
- Calcule
: , , . - Monte somas:
, , , , . - Slope com intercepto livre:
- Intercepto:
- Então
e (unidades de tempo usadas).
Isto mostra como fazer passo a passo: calcular somas, aplicar fórmula, obter
e então
.
Passo 9
Dicas práticas finais e checagens rápidas
- Verifique sempre se todos os
são positivos antes de aplicar ln. - Se estiver usando calculadora, software ou Excel: em Excel crie coluna com
e use as funções =SLOPE(y_range,x_range) e =INTERCEPT(y_range,x_range) ou =LINEST. Para forçar origem use fórmulas alternativas (no Excel a SLOPE forçando origem requer manipular com somas). - Plote a reta ajustada sobre os pontos para ver se o ajuste faz sentido.
- Se quiser, me envie os dados
que eu aplico exatamente estes passos e te retorno o gráfico, os coeficientes e .
Resposta
Não é possível calcular a reta nem a constante
sem os dados
ou
.