Determine as reações nos apoios. R: N_{A}=2,175 \mathrm{kN}, B_{y}=1,875 \mathrm{kN}, B_{x}=0.

Passo 1

O enunciado (peguei os dados da imagem) descreve uma viga de comprimento total 6\\ \mathrm{m} apoiada em A (rolamento/apoio que só reage verticalmente) e em B (pino que reage vertical e horizontal). A viga está sujeita a cargas distribuídas verticais assim divididas: do ponto A até o meio (comprimento 3\\ \mathrm{m}) a intensidade varia linearmente de 900\\ \mathrm{N/m} em A até 600\\ \mathrm{N/m} no ponto médio; do ponto médio até B (outros 3\\ \mathrm{m}) a intensidade é uniforme 600\\ \mathrm{N/m}. O que se pede: determinar as reações nos apoios (componentes vertical e horizontal), ou seja as incógnitas A_y (ou N_A conforme notação do enunciado), B_y e B_x.

Passo 2

Transformar as distribuições em forças concentradas (resultantes) é a primeira coisa. A regra: a resultante de uma carga distribuída é a área da curva de intensidade w(x) (porque w em N/m vezes comprimento em m dá N).
  • Para o trecho esquerdo ( 0 a 3\\ \mathrm{m}) a intensidade varia linearmente de w_1=900\\ \mathrm{N/m} a w_2=600\\ \mathrm{N/m}. A área (força resultante) é a área do trapézio:
R_{\text{esq}} = \frac{w_1 + w_2}{2}\cdot L = \frac{900 + 600}{2}\cdot 3 = 2250\\ \mathrm{N} = 2,25\\ \mathrm{kN}.
  • Para o trecho direito ( 3 a 6\\ \mathrm{m}) a intensidade é uniforme 600\\ \mathrm{N/m}:
R_{\text{dir}} = 600\cdot 3 = 1800\\ \mathrm{N} = 1,80\\ \mathrm{kN}.
Força total vertical aplicada na viga:
R_{\text{tot}} = R_{\text{esq}} + R_{\text{dir}} = 2,25 + 1,80 = 4,05\\ \mathrm{kN}.

Passo 3

Precisamos conhecer os pontos de aplicação (centroides) dessas resultantes para fazer momentos. Explico como achar o centro de massa (centroide) de uma carga linear do tipo w(x) linear: para um trecho de comprimento L com intensidades w_1 (em x=0) e w_2 (em x=L), a abscissa do resultant
e em relação ao início é
\bar{x} = L\cdot\frac{w_1 + 2w_2}{3(w_1 + w_2)}.
(Isto vem de \bar{x}=\dfrac{\int_0^L x\,w(x)\,dx}{\int_0^L w(x)\,dx}; para caso linear a integração dá a fórmula acima.)
Aplicando ao trecho esquerdo ( L=3\\ \mathrm{m}, w_1=900, w_2=600):
\bar{x}_{\text{esq}} = 3\cdot\frac{900 + 2\cdot 600}{3(900+600)} = 3\cdot\frac{2100}{4500} = 1{,}4\\ \mathrm{m}
medidos a partir do apoio A.
Para o trecho direito (uniforme), o centróide fica no meio do trecho: 1{,}5\\ \mathrm{m} a partir do início do trecho, isto é a 3 + 1{,}5 = 4{,}5\\ \mathrm{m} de A.
Resumo das forças e posições (todas em kN e m, medidas a partir de A):
R_{\text{esq}}=2{,}25\\ \mathrm{kN}\\ \text{em}\\ x=1{,}4\\ \mathrm{m},\qquad R_{\text{dir}}=1{,}80\\ \mathrm{kN}\\ \text{em}\\ x=4{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Escrevemos as equações de equilíbrio estático (plano): soma das forças horizontais, soma das forças verticais e soma dos momentos (vou tomar momentos em relação a A para eliminar A_y).
  • Equilíbrio horizontal: não há cargas horizontais aplicadas na viga, logo a soma das forças horizontais é zero e a reação horizontal em B é
B_x=0.
  • Equilíbrio vertical:
A_y + B_y - R_{\text{esq}} - R_{\text{dir}} = 0
ou
A_y + B_y = 4{,}05\\ \mathrm{kN}.
  • Equilíbrio de momentos em relação a A (tomando sentido positivo para momentos produzidos por B_y; as cargas aplicadas produzem momentos negativos se tendem a girar no sentido horário): a soma algébrica é
B_y\cdot 6 - R_{\text{esq}}\cdot 1{,}4 - R_{\text{dir}}\cdot 4{,}5 = 0.
Agora substituímos os valores (em kN·m):
B_y\cdot 6 - 2{,}25\cdot 1{,}4 - 1{,}80\cdot 4{,}5 = 0.
Calcule os momentos das cargas:
2{,}25\cdot 1{,}4 = 3{,}15\\ \mathrm{kN\cdot m},\qquad 1{,}80\cdot 4{,}5 = 8{,}10\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Somando: 3{,}15 + 8{,}10 = 11{,}25\\ \mathrm{kN\cdot m}. Assim
6\,B_y = 11{,}25 \quad\Rightarrow\quad B_y = \frac{11{,}25}{6} = 1{,}875\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Com B_y conhecido, voltamos ao equilíbrio vertical para achar A_y:
A_y = 4{,}05 - B_y = 4{,}05 - 1{,}875 = 2{,}175\\ \mathrm{kN}.
Verificação rápida (soma das reações verticais = carga total): 2{,}175 + 1{,}875 = 4{,}05\\ \mathrm{kN}, ok. E já determinamos B_x=0 porque não há cargas horizontais.

Resposta

N_{A}=2{,}175\\ \mathrm{kN}
B_{y}=1{,}875\\ \mathrm{kN}
B_{x}=0

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