Faça o gráfico à mão e a expressão matemática de definição da função degrau unitária.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Fazer o gráfico à mão da função degrau unitária (função Heaviside).
  • Escrever a expressão matemática que define essa função.
Informações relevantes (o que precisamos representar/decidir):
  • A função tem comportamento constante para t<0 e para t>0.
  • Preciso explicitar também o valor em t=0 — existe mais de uma convenção usada na literatura (0, 1 ou 1/2). Vou mostrar a definição padrão simétrica e as alternativas.

Passo 2

O que é a função degrau unitária (explicação didática curta).
  • A degrau unitária é uma função que “liga” um sinal num instante: vale zero antes do instante t=0\) e vale um depois. Serve para modelar sinais que começam em um certo instante. - Intuitivamente: pense numa chave que está desligada para \(t<0\) (saída 0) e ligada para \(t>0\) (saída 1). O comportamento exatamente em \(t=0\) é questão de convenção matemática. - Fórmula alternativa útil que relaciona com a função sinal: \[H(t)=\frac{1+\operatorname{sgn}(t)}{2},
onde \operatorname{sgn}(t)=\begin{cases}-1,&t<0\\\ 0,&t=0\\\ 1,&t>0\end{cases}\]. Usando essa fórmula, obtém-se a convenção \(H(0)=\tfrac12.

Passo 3

Definição peça por peça (a versão simétrica/mais utilizada em análise):
H(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & t=0,\\[4pt] 1, & t>0. \end{cases}
Explicando cada linha:
  • Para t<0: H(t)=0 significa que o degrau está “desligado”.
  • Em t=0: a convenção \tfrac12 é útil quando se liga a transformadas e limites (por exemplo, na transformada de Fourier ou ao relacionar com a função delta).
  • Para t>0: H(t)=1 significa que o degrau está “ligado”.]

Passo 4

Outras convenções (o professor / prova pode aceitar qualquer uma, mas explique qual usar):
  • Algumas áreas optam por
H(0)=0
ou
H(0)=1.
Se uma prova não especificar, informe qual convenção está adotando (eu adotei H(0)=\tfrac12 como padrão simétrico). Essas diferenças só afetam o valor em um ponto isolado; para integrals/imagens/distribuições a escolha pode ser importante.

Passo 5

Como desenhar o gráfico à mão — passo a passo (faça junto comigo):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal para t e vertical para H(t). Marque a origem 0 no eixo horizontal e as marcas 0 e 1 no eixo vertical.
  2. Para a região à esquerda da origem ( t<0), trace uma linha horizontal em H(t)=0.
  3. Para a região à direita da origem ( t>0), trace uma linha horizontal em H(t)=1.
  4. Em t=0:
    • Se usar a convenção H(0)=\tfrac12: desenhe um ponto preenchido em \bigl(0,\tfrac12\bigr).
    • Se usar H(0)=0: desenhe um ponto preenchido em (0,0) e um círculo aberto em (0,1).
    • Se usar H(0)=1: desenhe um ponto preenchido em (0,1) e um círculo aberto em (0,0).
  5. Coloque setas nas extremidades das linhas horizontais para indicar que elas continuam (ou apenas prolongue um pouco as linhas), e rotule os níveis 0 e 1 no eixo vertical.
Exemplo de “desenho ASCII” simples (apenas para visualização rápida; ao desenhar à mão, faça mais limpo):
t eixo ->
y
1 | ───────────────────────── (linha em 1 para t>0)
| ● (ou ○ dependendo da convenção) <-- ponto em t=0
0 |───────●──────────────────────── (linha em 0 para t<0)
-2 -1 0 1 2 (eixo t)
No desenho acima estou assumindo H(0)=\tfrac12 idealmente marcado no meio; para H(0)=\tfrac12 coloque o ponto em y=\tfrac12 entre as linhas 0 e 1.

Passo 6

Exemplos práticos e transformações simples:
  • Deslocamento no tempo: H(t-a) é o degrau que “liga” em t=a.
  • Inversão: H(-t) vale 1 para t<0 e 0 para t>0 (inverte os lados).
  • Uso em sinais: multiplicando um sinal x(t) por H(t) obtém-se a versão “causada” do sinal que existe só para t\ge0: x(t)H(t).

Passo 7

Resumo final e dica para a prova:
  • Na resposta da prova, escreva claramente a convenção adotada para H(0).
  • Desenhe o gráfico com as linhas horizontais em 0 e 1, marcando corretamente o ponto em t=0 (preenchido ou aberto conforme a convenção).
  • Se for usar transformadas ou limites, prefira indicar a convenção H(0)=\tfrac12 (muito comum em teoria de sinais e análise).

Resposta

H(t)=\begin{cases} 0,&t<0,\\[4pt] \dfrac{1}{2},&t=0,\\[4pt] 1,&t>0. \end{cases}
\text{(Alternativas comuns: }H(0)=0\quad\text{ou}\quad H(0)=1\text{.)}]

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