Faça o gráfico à mão e a expressão matemática de definição da função degrau unitária.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Fazer o gráfico à mão da função degrau unitária (função Heaviside).
Escrever a expressão matemática que define essa função.
Informações relevantes (o que precisamos representar/decidir):
A função tem comportamento constante para t<0 e para t>0.
Preciso explicitar também o valor em t=0 — existe mais de uma convenção usada na literatura (0, 1 ou 1/2). Vou mostrar a definição padrão simétrica e as alternativas.
Passo 2
O que é a função degrau unitária (explicação didática curta).
A degrau unitária é uma função que “liga” um sinal num instante: vale zero antes do instante t=0\) e vale um depois. Serve para modelar sinais que começam em um certo instante.
- Intuitivamente: pense numa chave que está desligada para \(t<0\) (saída 0) e ligada para \(t>0\) (saída 1). O comportamento exatamente em \(t=0\) é questão de convenção matemática.
- Fórmula alternativa útil que relaciona com a função sinal: \[H(t)=\frac{1+\operatorname{sgn}(t)}{2},
onde \operatorname{sgn}(t)=\begin{cases}-1,&t<0\\\ 0,&t=0\\\ 1,&t>0\end{cases}\]. Usando essa fórmula, obtém-se a convenção \(H(0)=\tfrac12.
Passo 3
Definição peça por peça (a versão simétrica/mais utilizada em análise):
Para t<0: H(t)=0 significa que o degrau está “desligado”.
Em t=0: a convenção \tfrac12 é útil quando se liga a transformadas e limites (por exemplo, na transformada de Fourier ou ao relacionar com a função delta).
Para t>0: H(t)=1 significa que o degrau está “ligado”.]
Passo 4
Outras convenções (o professor / prova pode aceitar qualquer uma, mas explique qual usar):
Algumas áreas optam por
H(0)=0
ou
H(0)=1.
Se uma prova não especificar, informe qual convenção está adotando (eu adotei H(0)=\tfrac12 como padrão simétrico). Essas diferenças só afetam o valor em um ponto isolado; para integrals/imagens/distribuições a escolha pode ser importante.
Passo 5
Como desenhar o gráfico à mão — passo a passo (faça junto comigo):
Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal para t e vertical para H(t). Marque a origem 0 no eixo horizontal e as marcas 0 e 1 no eixo vertical.
Para a região à esquerda da origem (t<0), trace uma linha horizontal em H(t)=0.
Para a região à direita da origem (t>0), trace uma linha horizontal em H(t)=1.
Em t=0:
Se usar a convenção H(0)=\tfrac12: desenhe um ponto preenchido em \bigl(0,\tfrac12\bigr).
Se usar H(0)=0: desenhe um ponto preenchido em (0,0) e um círculo aberto em (0,1).
Se usar H(0)=1: desenhe um ponto preenchido em (0,1) e um círculo aberto em (0,0).
Coloque setas nas extremidades das linhas horizontais para indicar que elas continuam (ou apenas prolongue um pouco as linhas), e rotule os níveis 0 e 1 no eixo vertical.
Exemplo de “desenho ASCII” simples (apenas para visualização rápida; ao desenhar à mão, faça mais limpo):
t eixo ->
y
1 | ───────────────────────── (linha em 1 para t>0)
| ● (ou ○ dependendo da convenção) <-- ponto em t=0
0 |───────●──────────────────────── (linha em 0 para t<0)
-2 -1 0 1 2 (eixo t)
No desenho acima estou assumindo H(0)=\tfrac12 idealmente marcado no meio; para H(0)=\tfrac12 coloque o ponto em y=\tfrac12 entre as linhas 0 e 1.
Passo 6
Exemplos práticos e transformações simples:
Deslocamento no tempo: H(t-a) é o degrau que “liga” em t=a.
Inversão: H(-t) vale 1 para t<0 e 0 para t>0 (inverte os lados).
Uso em sinais: multiplicando um sinal x(t) por H(t) obtém-se a versão “causada” do sinal que existe só para t\ge0: x(t)H(t).
Passo 7
Resumo final e dica para a prova:
Na resposta da prova, escreva claramente a convenção adotada para H(0).
Desenhe o gráfico com as linhas horizontais em 0 e 1, marcando corretamente o ponto em t=0 (preenchido ou aberto conforme a convenção).
Se for usar transformadas ou limites, prefira indicar a convenção H(0)=\tfrac12 (muito comum em teoria de sinais e análise).