Seja um sistema dado por y(t)=\cos (t)-5, explique se é:
estável;

Passo 1

O enunciado diz que o sistema é dado por y(t)=\cos(t)-5 e pede para explicar se ele é estável.
Informações fornecidas:
  • A expressão da saída é y(t)=\cos(t)-5.
  • Não foi dada nenhuma relação de saída com uma entrada x(t); a saída parece ser uma função fixa do tempo.
    A pergunta a responder é: o sistema é estável?

Passo 2

Decidir qual definição de “estável” usar. Como o enunciado dá uma expressão de saída sem equações de estado, a definição mais adequada e básica é a de estabilidade BIBO (Bounded-Input Bounded-Output). Vou explicar essa definição com calma.
Definição de estabilidade BIBO: um sistema é BIBO estável se, para toda entrada limitada, a saída também é limitada. Formalmente: existe uma constante M<\infty tal que, para qualquer entrada x(t) com |x(t)|\le B<\infty para todo t, tem-se |y(t)|\le M para todo t.
Aqui:
  • x(t) é a entrada (se houver); B é um limite finito que vale para todos os t.
  • y(t) é a saída; M é um limite finito que deve existir para todos os t.
Escolhi BIBO porque é a definição padrão de estabilidade quando se trabalha com sistemas entrada–saída e quando não há equações de estado para analisar estabilidade interna (Lyapunov). Se o enunciado quisesse estabilidade de outro tipo pediria uma equação diferencial ou um sistema de estados.

Passo 3

Relacionar a definição com o sistema dado. Aqui a saída não depende de nenhuma entrada: para qualquer possível x(t) (limitada ou não), a saída do sistema é sempre a mesma função do tempo,
y(t)=\cos(t)-5.
Portanto, para verificar BIBO basta verificar se essa função y(t) é limitada — se existir um M tal que |y(t)|\le M para todo t.

Passo 4

Mostrar que y(t) é limitada, passo a passo.
Sabemos a propriedade básica da função cosseno:
-1 \le \cos(t) \le 1 \quad\text{para todo } t.
Subtraindo 5 em todos os termos da desigualdade obtemos
-1-5 \le \cos(t)-5 \le 1-5,
ou seja
-6 \le \cos(t)-5 \le -4.
Isso mostra que y(t)=\cos(t)-5 é sempre maior ou igual a -6 e menor ou igual a -4. Em particular,
|y(t)| \le 6 \quad\text{para todo } t,
pois o maior valor absoluto ocorre em y(t)=-6. Portanto existe M=6 que limita |y(t)| para todo t.

Passo 5

Conclusão com base na definição BIBO: como para qualquer entrada (mesmo sem especificar x(t)) a saída é sempre a mesma função limitada e satisfaz |y(t)|\le 6 para todo t, o sistema é BIBO estável.
Observação adicional curta (para contextualizar): não foi analisada estabilidade no sentido de equações de estado (Lyapunov), porque não há um modelo de estado; a conclusão válida e útil aqui é que o sistema é estável no sentido entrada–saída (BIBO).

Resposta

Estável no sentido BIBO. y(t)=\cos(t)-5 é limitada e satisfaz -6\le y(t)\le -4, logo |y(t)|\le 6.

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