Seja um sistema dado por
, explique se é:
estável;
estável;
Passo 1
O enunciado diz que o sistema é dado por
e pede para explicar se ele é estável.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A expressão da saída é
. - Não foi dada nenhuma relação de saída com uma entrada
; a saída parece ser uma função fixa do tempo.
A pergunta a responder é: o sistema é estável?
Passo 2
Decidir qual definição de “estável” usar. Como o enunciado dá uma expressão de saída sem equações de estado, a definição mais adequada e básica é a de estabilidade BIBO (Bounded-Input Bounded-Output). Vou explicar essa definição com calma.
Definição de estabilidade BIBO: um sistema é BIBO estável se, para toda entrada limitada, a saída também é limitada. Formalmente: existe uma constante
tal que, para qualquer entrada
com
para todo
, tem-se
para todo
.
Aqui:
Aqui:
-
é a entrada (se houver); é um limite finito que vale para todos os . -
é a saída; é um limite finito que deve existir para todos os .
Escolhi BIBO porque é a definição padrão de estabilidade quando se trabalha com sistemas entrada–saída e quando não há equações de estado para analisar estabilidade interna (Lyapunov). Se o enunciado quisesse estabilidade de outro tipo pediria uma equação diferencial ou um sistema de estados.
Passo 3
Relacionar a definição com o sistema dado. Aqui a saída não depende de nenhuma entrada: para qualquer possível
(limitada ou não), a saída do sistema é sempre a mesma função do tempo,
Portanto, para verificar BIBO basta verificar se essa função
é limitada — se existir um
tal que
para todo
.
Passo 4
Mostrar que
é limitada, passo a passo.
Sabemos a propriedade básica da função cosseno:
Subtraindo
em todos os termos da desigualdade obtemos
ou seja
Isso mostra que
é sempre maior ou igual a
e menor ou igual a
. Em particular,
pois o maior valor absoluto ocorre em
. Portanto existe
que limita
para todo
.
Passo 5
Conclusão com base na definição BIBO: como para qualquer entrada (mesmo sem especificar
) a saída é sempre a mesma função limitada e satisfaz
para todo
, o sistema é BIBO estável.
Observação adicional curta (para contextualizar): não foi analisada estabilidade no sentido de equações de estado (Lyapunov), porque não há um modelo de estado; a conclusão válida e útil aqui é que o sistema é estável no sentido entrada–saída (BIBO).
Resposta
Estável no sentido BIBO.
é limitada e satisfaz
, logo
.