5- Um sistema trifásico alimenta uma carga ligada em estrela cuja impedância de carga é Z=6-j 8 \Omega. A tensão na fase da carga é V_{\text {an }}=20 \angle-53,13^{\circ}. Determine a corrente de fase e o módulo da tensão de linha do sistema.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Impedância de carga: Z=6-j\,8\\ \Omega.
    • Tensão de fase (tensão na fase da carga): V_{\text{an}}=20\angle -53,13^\circ (unidades implícitas: volts).
  • O enunciado pede:
    1. Determinar a corrente de fase I_{\text{an}}.
    2. Determinar o módulo da tensão de linha do sistema |V_{\text{LL}}|.

Passo 2

Lembrete teórico e método escolhido (a “aula” rápida antes de calcular).
  • Lei de Ohm em forma fasorial (fórmula fundamental para circuitos em regime senoidal):
    \underline{V}=\underline{Z}\,\underline{I},
    onde \underline{V} é a tensão fasorial, \underline{I} é a corrente fasorial e \underline{Z} é a impedância fasorial. Para obter a corrente usamos
    \underline{I}=\frac{\underline{V}}{\underline{Z}}.
    Aqui todas as quantidades são números complexos (fasores). Há dois modos práticos de dividir fasores:
    • Converter ambos para forma polar (módulo∠ângulo) e dividir módulos e subtrair ângulos.
    • Converter ambos para forma retangular e multiplicar pelo conjugado do denominador.
  • Conversão de impedância do formato retangular para polar:
    • O módulo é |\underline{Z}|=\sqrt{\operatorname{Re}(\underline{Z})^2+\operatorname{Im}(\underline{Z})^2}.
    • O argumento (ângulo) é \arg(\underline{Z})=\arctan\!\left(\dfrac{\operatorname{Im}(\underline{Z})}{\operatorname{Re}(\underline{Z})}\right) (atenção ao quadrante).
      Vou usar a forma polar porque facilita a divisão.

Passo 3

Converter a impedância \underline{Z} para forma polar.
  • Calcular o módulo: |\underline{Z}|=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
  • Calcular o ângulo: \arg(\underline{Z})=\arctan\!\left(\frac{-8}{6}\right)=-53,13^\circ.
  • Portanto \underline{Z}=10\angle -53,13^\circ\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a corrente de fase \underline{I}_{\text{an}} usando divisão de fasores (método polar).
  • Usando \underline{I}=\dfrac{\underline{V}}{\underline{Z}} com \underline{V}=\underline{V}_{\text{an}}=20\angle -53,13^\circ e \underline{Z}=10\angle -53,13^\circ: \underline{I}_{\text{an}}=\frac{20\angle -53,13^\circ}{10\angle -53,13^\circ}=\frac{20}{10}\angle\big(-53,13^\circ-(-53,13^\circ)\big)=2\angle 0^\circ\\ \text{A}.
  • Interpretação didática: o módulo da corrente é \,2\\ \text{A} e o ângulo é 0^\circ, ou seja, a corrente resultante está em fase com o eixo de referência adotado.

Passo 5

Verificação alternativa (método retangular) — útil para aprender a manipular números complexos sem depender só da forma polar.
  • Converter \underline{V}_{\text{an}} para retangular: \underline{V}_{\text{an}}=20\angle -53,13^\circ = 20\big(\cos(-53,13^\circ)+j\sin(-53,13^\circ)\big)=12 - j\,16\\ \text{V},porque \cos(-53,13^\circ)=0,6 e \sin(-53,13^\circ)=-0,8.
  • Fazer a divisão \underline{I}=(12-j16)/(6-j8). Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador: \underline{I}=\frac{(12-j16)(6+j8)}{(6-j8)(6+j8)}=\frac{200}{100}=2,ou seja \underline{I}=2+ j0 = 2\angle 0^\circ\\ \text{A}. Confere com o resultado obtido em polar.

Passo 6

Determinar o módulo da tensão de linha |V_{LL}| a partir da tensão de fase numa ligação estrela (explicação e cálculo).
  • Em uma ligação estrela equilibrada, a relação entre módulo da tensão de linha |\underline{V}_{\text{LL}}| e módulo da tensão de fase |\underline{V}_{\text{ph}}| é |\underline{V}_{\text{LL}}|=\sqrt{3}\,|\underline{V}_{\text{ph}}|.(Breve justificativa: \underline{V}_{ab}=\underline{V}_{aN}-\underline{V}_{bN}; com sequência positiva isso resulta em magnitude \sqrt{3} vezes a tensão de fase e deslocamento angular de +30^\circ.)
  • Aplicando ao problema com |\underline{V}_{\text{ph}}|=|\underline{V}_{\text{an}}|=20: |\underline{V}_{LL}|=\sqrt{3}\cdot 20=20\sqrt{3}\\ \text{V}\approx 34,64\\ \text{V}.

Resposta

I_{\text{an}}=2\angle 0^\circ\\ \text{A}
|V_{LL}|=20\sqrt{3}\\ \text{V}\approx 34,64\\ \text{V}

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