Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do \theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
5(\cos 0+i \sin 0)

Passo 1

O enunciado dá o número complexo em forma trigonométrica
5(\cos 0 + i\sin 0).
Pede-se, para esse número, que eu:
  • calcule a parte real x;
  • calcule a parte imaginária y;
  • calcule o módulo r (valor absoluto);
  • indique um valor para o ângulo \theta;
  • encontre o conjugado complexo e faça o gráfico de ambos no plano complexo.
As informações relevantes que temos do enunciado são exatamente r=5 e \theta=0 na escrita \,5(\cos\theta + i\sin\theta) com \theta=0.

Passo 2

Entendendo a conversão entre formas (explicação didática):
  • Um número complexo em coordenadas cartesianas é escrito como x+iy, onde x é a parte real e y a parte imaginária.
  • Um número complexo em forma trigonométrica (polar) é escrito como r(\cos\theta + i\sin\theta), onde:
    • r é o módulo (distância da origem até o ponto no plano complexo);
    • \theta é o argumento (ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo).
  • As fórmulas de conversão são: x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta.
Essas fórmulas vêm da interpretação geométrica: multiplicar r pela projeção nos eixos (cosseno e seno).
  • O módulo pode ser obtido também a partir de x e y por: r = \sqrt{x^2 + y^2}.
  • O conjugado de x+iy é x-iy. Em forma trigonométrica, o conjugado de r(\cos\theta + i\sin\theta) é r(\cos\theta - i\sin\theta) — ou seja, muda-se o sinal da parte imaginária (equivalente a refletir o ponto em relação ao eixo real).

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao número dado:
Temos \,r=5 e \theta=0. Então, usando
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta,
calculo explicitamente:
\cos 0 = 1,\qquad \sin 0 = 0.
Portanto
x = 5\cos 0 = 5\cdot 1 = 5,
y = 5\sin 0 = 5\cdot 0 = 0.

Passo 4

Verificando o módulo a partir de x e y:
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5.
Confere com o r dado inicialmente, ótimo.

Passo 5

Escolha do ângulo \theta:
O enunciado já usou \theta=0. Esse é um valor perfeitamente válido para o argumento (ângulo) — é o ângulo principal 0 radianos. Lembre que qualquer ângulo coterminal também serve, isto é,
\theta = 0 + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},
mas na prática usamos \theta=0 por simplicidade.

Passo 6

Conjugado do número:
Partindo da forma cartesiana x+iy = 5 + i\cdot 0 = 5, o conjugado é
\overline{5} = 5 - i\cdot 0 = 5.
Em forma trigonométrica, o conjugado é
5(\cos 0 - i\sin 0) = 5(1 - i\cdot 0) = 5.
Portanto o conjugado é numericamente igual a 5 — ou seja, o mesmo ponto no plano complexo — porque a parte imaginária é zero.

Passo 7

Como plotar no plano complexo (instruções passo a passo):
  • O plano complexo tem eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
  • As coordenadas do ponto são (x,y) = (5,0).
  • Marque no eixo real o ponto (5,0): isso fica na direita da origem a distância 5.
  • O conjugado tem coordenadas (5,0) também, porque y=0; portanto é o mesmo ponto (não há reflexão vertical, pois já está sobre o eixo real).
  • Em palavras simples: ambos os números (o original e o conjugado) estão sobre o eixo real, no ponto que representa o número real 5.

Resposta

x=5
y=0
r=5
\theta=0
conjugado =5(\cos 0 - i\sin 0)=5
gráfico: ambos correspondem ao ponto (5,0) no plano complexo.

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