Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do
ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo em forma trigonométrica
Pede-se, para esse número, que eu:
- calcule a parte real
; - calcule a parte imaginária
; - calcule o módulo
(valor absoluto); - indique um valor para o ângulo
; - encontre o conjugado complexo e faça o gráfico de ambos no plano complexo.
As informações relevantes que temos do enunciado são exatamente
e
na escrita
com
.
Passo 2
Entendendo a conversão entre formas (explicação didática):
- Um número complexo em coordenadas cartesianas é escrito como
, onde é a parte real e a parte imaginária. - Um número complexo em forma trigonométrica (polar) é escrito como
, onde: -
é o módulo (distância da origem até o ponto no plano complexo); -
é o argumento (ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo).
-
- As fórmulas de conversão são:
Essas fórmulas vêm da interpretação geométrica: multiplicar
pela projeção nos eixos (cosseno e seno).
- O módulo pode ser obtido também a partir de
e por: - O conjugado de
é . Em forma trigonométrica, o conjugado de é — ou seja, muda-se o sinal da parte imaginária (equivalente a refletir o ponto em relação ao eixo real).
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao número dado:
Temos e
. Então, usando
Temos
calculo explicitamente:
Portanto
Passo 4
Verificando o módulo a partir de
e
:
Confere com o
dado inicialmente, ótimo.
Passo 5
Escolha do ângulo
:
O enunciado já usou . Esse é um valor perfeitamente válido para o argumento (ângulo) — é o ângulo principal
radianos. Lembre que qualquer ângulo coterminal também serve, isto é,
O enunciado já usou
mas na prática usamos
por simplicidade.
Passo 6
Conjugado do número:
Partindo da forma cartesiana , o conjugado é
Partindo da forma cartesiana
Em forma trigonométrica, o conjugado é
Portanto o conjugado é numericamente igual a
— ou seja, o mesmo ponto no plano complexo — porque a parte imaginária é zero.
Passo 7
Como plotar no plano complexo (instruções passo a passo):
- O plano complexo tem eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
- As coordenadas do ponto são
. - Marque no eixo real o ponto
: isso fica na direita da origem a distância . - O conjugado tem coordenadas
também, porque ; portanto é o mesmo ponto (não há reflexão vertical, pois já está sobre o eixo real). - Em palavras simples: ambos os números (o original e o conjugado) estão sobre o eixo real, no ponto que representa o número real
.
Resposta
conjugado
gráfico: ambos correspondem ao ponto