Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do
ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com o número complexo
As tarefas são: determinar a parte real
, a parte imaginária
, o módulo
, um valor do ângulo
(argumento) e encontrar o conjugado complexo. Também é pedido “fazer o gráfico” — aqui vou explicar exatamente onde plotar os pontos no plano e como desenhar os eixos para você reproduzir na prova.
Passo 2
Primeiro vamos avaliar as funções trigonométricas. Lembre que
e
de ângulos especiais podem ser lembrados da circunferência unitária: em
(90º) a coordenada
é zero e a coordenada
é 1. Logo,
Isto transforma o número em algo mais simples.
Passo 3
Substituindo os valores trigonométricos obtemos o número complexo explicitamente:
Por definição de número complexo
, podemos ler diretamente:
Explicação rápida: a parte real é o coeficiente que multiplica
(a parte sem
) e a parte imaginária é o coeficiente que multiplica
.
Passo 4
Agora calculamos o módulo
. Fórmula do módulo: para
,
Aqui
e
, então
Comentário didático: o módulo é a distância do ponto
até a origem
no plano — aqui a distância é
.
Passo 5
Vamos achar um valor para o argumento
(ângulo polar). Em geral, se
usamos
, mas atenção: quando
precisamos olhar o sinal de
.
- Se
e , então . - Se
e , então (ou , conforme a convenção).
Aquie , portanto o argumento principal é
Observação: argumentos equivalentes podem ser obtidos somando múltiplos inteiros de
:
para
.
Passo 6
Escrevendo em forma polar (útil na prova): já vimos que
e
, então
Também podemos usar a forma exponencial (se for permitido):
Essas formas são úteis para multiplicações e potências de complexos, mas aqui servem só para reconhecer a posição no plano.
Passo 7
Agora o conjugado complexo. Definição: o conjugado de
é
— troca o sinal da parte imaginária. Para nosso caso
,
, então
Em coordenadas cartesianas,
está em
e
está em
. O módulo do conjugado é o mesmo (
) e o argumento do conjugado é
(ou
).
Passo 8
Instruções para desenhar o gráfico (faça isso na prova com papel milimetrado ou à mão livre):
- Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal (parte real) e eixo vertical (parte imaginária). Marque a origem
. - Para
: marque o ponto . Como , o ponto fica no eixo imaginário, uma unidade acima da origem. - Para
: marque o ponto , uma unidade abaixo da origem no eixo imaginário. - Opcional: conecte cada ponto à origem com um segmento; o segmento de
forma um ângulo com o eixo real, e o de forma ângulo .
Dica prática: sinalize cada ponto com sua notação (e ) e escreva os pares de coordenadas ao lado e .
Passo 9
Recapitulando de forma direta e prática — isto é o que você pode copiar rápido na sua folha de prova se precisar responder rápido.