Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do \theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
\cos \frac{ \pi}{2}+i \sin \frac{ \pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o número complexo
\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}.
As tarefas são: determinar a parte real x, a parte imaginária y, o módulo r, um valor do ângulo \theta (argumento) e encontrar o conjugado complexo. Também é pedido “fazer o gráfico” — aqui vou explicar exatamente onde plotar os pontos no plano e como desenhar os eixos para você reproduzir na prova.

Passo 2

Primeiro vamos avaliar as funções trigonométricas. Lembre que \cos e \sin de ângulos especiais podem ser lembrados da circunferência unitária: em \frac{\pi}{2} (90º) a coordenada x é zero e a coordenada y é 1. Logo,
\cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1.
Isto transforma o número em algo mais simples.

Passo 3

Substituindo os valores trigonométricos obtemos o número complexo explicitamente:
\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=0+i\cdot 1.
Por definição de número complexo \;z=x+iy\;, podemos ler diretamente:
x=0,\qquad y=1.
Explicação rápida: a parte real é o coeficiente que multiplica 1 (a parte sem i) e a parte imaginária é o coeficiente que multiplica i.

Passo 4

Agora calculamos o módulo r. Fórmula do módulo: para z=x+iy,
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=0 e y=1, então
r=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\sqrt{1}=1.
Comentário didático: o módulo é a distância do ponto (x,y) até a origem (0,0) no plano — aqui a distância é 1.

Passo 5

Vamos achar um valor para o argumento \theta (ângulo polar). Em geral, se x\neq 0 usamos \theta=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big), mas atenção: quando x=0 precisamos olhar o sinal de y.
  • Se x=0 e y>0, então \theta=\frac{\pi}{2}.
  • Se x=0 e y<0, então \theta=-\frac{\pi}{2} (ou \frac{3\pi}{2}, conforme a convenção).
    Aqui x=0 e y=1>0, portanto o argumento principal é
\theta=\frac{\pi}{2}.
Observação: argumentos equivalentes podem ser obtidos somando múltiplos inteiros de 2\pi: \theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi para k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Escrevendo em forma polar (útil na prova): já vimos que r=1 e \theta=\frac{\pi}{2}, então
z=1\big(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\big).
Também podemos usar a forma exponencial (se for permitido):
z=e^{i\pi/2}.
Essas formas são úteis para multiplicações e potências de complexos, mas aqui servem só para reconhecer a posição no plano.

Passo 7

Agora o conjugado complexo. Definição: o conjugado de z=x+iy é \overline{z}=x-iy — troca o sinal da parte imaginária. Para nosso caso x=0, y=1, então
\overline{z}=0-i\cdot 1=-i.
Em coordenadas cartesianas, z está em (0,1) e \overline{z} está em (0,-1). O módulo do conjugado é o mesmo ( 1) e o argumento do conjugado é -\frac{\pi}{2} (ou \frac{3\pi}{2}).

Passo 8

Instruções para desenhar o gráfico (faça isso na prova com papel milimetrado ou à mão livre):
  • Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal (parte real) e eixo vertical (parte imaginária). Marque a origem (0,0).
  • Para z: marque o ponto (0,1). Como x=0, o ponto fica no eixo imaginário, uma unidade acima da origem.
  • Para \overline{z}: marque o ponto (0,-1), uma unidade abaixo da origem no eixo imaginário.
  • Opcional: conecte cada ponto à origem com um segmento; o segmento de z forma um ângulo \frac{\pi}{2} com o eixo real, e o de \overline{z} forma ângulo -\frac{\pi}{2}.
    Dica prática: sinalize cada ponto com sua notação ( z e \overline{z}) e escreva os pares de coordenadas ao lado (0,1) e (0,-1).

Passo 9

Recapitulando de forma direta e prática — isto é o que você pode copiar rápido na sua folha de prova se precisar responder rápido.

Resposta

x=0
y=1
r=1
\theta=\dfrac{\pi}{2} (argumento principal; alternativas: \dfrac{\pi}{2}+2k\pi)
\overline{z}=-i (coordenadas do conjugado: (0,-1))

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