Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do
ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça o gráfico e calcule, para o número complexo dado, os seguintes itens: a parte real
, a parte imaginária
, o módulo
e um valor do ângulo
. Também pede para encontrar e grafar o conjugado do número. O número complexo dado é
Informações relevantes do enunciado que vou usar:
- O número complexo é escrito na forma exponencial
. - A incógnita do ângulo aparece como
(vou tratar ). - Preciso fornecer as componentes (real, imaginária), módulo, um valor do argumento
e o conjugado, e explicar como fazer o gráfico no plano complexo.)
Passo 2
Primeiro vamos lembrar (e eu te explico bem devagar) a relação fundamental que liga a forma exponencial à forma retangular de um número complexo: a fórmula de Euler.
A fórmula de Euler diz que, para qualquer ângulo real ,
A fórmula de Euler diz que, para qualquer ângulo real
O que isso significa na prática: um número escrito como
tem magnitude
e está na direção (ângulo)
. Convertendo para coordenadas cartesianas do plano complexo (onde o eixo real é
e o eixo imaginário é
), escrevemos
Aqui
é o módulo,
é o argumento,
é a parte real e
é a parte imaginária.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Euler ao nosso número
, basta tomar
e
. Então temos, desenvolvendo:
A partir daqui identificamos diretamente as partes real e imaginária:
- A parte real
é
- A parte imaginária
(o coeficiente que multiplica ) é
Eu expliquei cada passo: você aplica Euler e multiplica o
nas funções trigonométricas.
Passo 4
Agora o módulo e o argumento. O módulo de um número na forma
é exatamente
. Então para o nosso número:
O argumento (ângulo)
pode ser escolhido como
ou qualquer valor equivalente módulo
(isto é, você pode adicionar/subtrair
para qualquer inteiro
e representa o mesmo ponto). Em problemas de prova às vezes pedem o ângulo principal (entre
e
ou entre
e
); nesse caso você reduz
módulo
para ficar no intervalo desejado.
Passo 5
O conjugado de um número complexo escrito em forma exponencial é fácil: trocar
por
no expoente. Assim, o conjugado de
é
Em forma retangular, se o número original é
, o conjugado é
. Aplicando isso aqui:
Note a propriedade geométrica importante: o conjugado é a reflexão do ponto original em relação ao eixo real (mesma abscissa
, ordenada
com sinal trocado).
Passo 6
Como fazer o gráfico no plano complexo — instrução prática passo a passo (para você desenhar à mão na prova):
- Lembre que o ponto correspondente a
está sobre o círculo de raio centrado na origem, porque o módulo é . - O ângulo
é medido a partir do eixo real positivo (sentido anti-horário se ). Então localize o ângulo e marque o ponto a distância da origem nessa direção. - Coordenadas para plotar diretamente: abscissa
e ordenada . - Para o conjugado: mantenha
igual e mude o sinal de ; ou seja, meça o mesmo ângulo mas no espelho em relação ao eixo real (ou, equivalentemente, ângulo com mesma distância ).
Passo 7
Para fixar a ideia, vou dar exemplos numéricos simples (só para você ver pontos concretos; isto não altera as fórmulas gerais que dei):
- Se escolher
, então e o ponto é . O conjugado também é (mesmo ponto). - Se escolher
, então e o ponto é . O conjugado é . - Se escolher
, então e o ponto é . O conjugado é .
Esses exemplos mostram a rotação ao redor do círculo de raioe a reflexão do conjugado.
Passo 8
Recapitulando de forma bem prática (para você decorar e usar na prova):
- Converter
para forma retangular: multiplicar por e . - O módulo é sempre
, independente de . - O argumento é
(reduzido módulo se quiser o ângulo principal). - O conjugado troca o sinal da parte imaginária (ou troca
por na forma exponencial).
Resposta
Parte real
Parte imaginária
Módulo
Um valor do ângulo (mod
)
Conjugado
Parte imaginária
Módulo
Um valor do ângulo
Conjugado