Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do \theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
3 e^{i n / 2}

Passo 1

O enunciado pede que eu faça o gráfico e calcule, para o número complexo dado, os seguintes itens: a parte real x, a parte imaginária y, o módulo r e um valor do ângulo \theta. Também pede para encontrar e grafar o conjugado do número. O número complexo dado é
3 e^{i n / 2}.
Informações relevantes do enunciado que vou usar:
  • O número complexo é escrito na forma exponencial 3 e^{i n/2}.
  • A incógnita do ângulo aparece como \frac{n}{2} (vou tratar \,n\,$ como um parâmetro real — a solução vale para qualquer \(\,n\in\mathbb{R}).
  • Preciso fornecer as componentes (real, imaginária), módulo, um valor do argumento \theta e o conjugado, e explicar como fazer o gráfico no plano complexo.)

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (e eu te explico bem devagar) a relação fundamental que liga a forma exponencial à forma retangular de um número complexo: a fórmula de Euler.
A fórmula de Euler diz que, para qualquer ângulo real \theta,
e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta).
O que isso significa na prática: um número escrito como R e^{i\theta} tem magnitude R e está na direção (ângulo) \theta. Convertendo para coordenadas cartesianas do plano complexo (onde o eixo real é x e o eixo imaginário é y), escrevemos
R e^{i\theta}=R\cos(\theta)+i\,R\sin(\theta).
Aqui R é o módulo, \theta é o argumento, R\cos(\theta) é a parte real e R\sin(\theta) é a parte imaginária.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Euler ao nosso número \,3 e^{i n/2}, basta tomar R=3 e \theta=\dfrac{n}{2}. Então temos, desenvolvendo:
3 e^{i n/2}=3\bigl(\cos\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)+i\sin\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)\bigr).
A partir daqui identificamos diretamente as partes real e imaginária:
  • A parte real x é
x=3\cos\!\left(\tfrac{n}{2}\right).
  • A parte imaginária y (o coeficiente que multiplica i) é
y=3\sin\!\left(\tfrac{n}{2}\right).
Eu expliquei cada passo: você aplica Euler e multiplica o 3 nas funções trigonométricas.

Passo 4

Agora o módulo e o argumento. O módulo de um número na forma R e^{i\theta} é exatamente R. Então para o nosso número:
r=3.
O argumento (ângulo) \theta pode ser escolhido como
\theta=\frac{n}{2},
ou qualquer valor equivalente módulo 2\pi (isto é, você pode adicionar/subtrair 2\pi k para qualquer inteiro k e representa o mesmo ponto). Em problemas de prova às vezes pedem o ângulo principal (entre -\pi e \pi ou entre 0 e 2\pi); nesse caso você reduz \dfrac{n}{2} módulo 2\pi para ficar no intervalo desejado.

Passo 5

O conjugado de um número complexo escrito em forma exponencial é fácil: trocar i por -i no expoente. Assim, o conjugado de \,3 e^{i n/2} é
3 e^{-i n/2}.
Em forma retangular, se o número original é x+i y, o conjugado é x - i y. Aplicando isso aqui:
\text{conjugado} = 3\cos\!\left(\tfrac{n}{2}\right) - i\,3\sin\!\left(\tfrac{n}{2}\right).
Note a propriedade geométrica importante: o conjugado é a reflexão do ponto original em relação ao eixo real (mesma abscissa x, ordenada y com sinal trocado).

Passo 6

Como fazer o gráfico no plano complexo — instrução prática passo a passo (para você desenhar à mão na prova):
  1. Lembre que o ponto correspondente a 3 e^{i n/2} está sobre o círculo de raio 3 centrado na origem, porque o módulo é 3.
  2. O ângulo \theta=\dfrac{n}{2} é medido a partir do eixo real positivo (sentido anti-horário se \theta>0). Então localize o ângulo \dfrac{n}{2} e marque o ponto a distância 3 da origem nessa direção.
  3. Coordenadas para plotar diretamente: abscissa x=3\cos\!\left(\tfrac{n}{2}\right) e ordenada y=3\sin\!\left(\tfrac{n}{2}\right).
  4. Para o conjugado: mantenha x igual e mude o sinal de y; ou seja, meça o mesmo ângulo mas no espelho em relação ao eixo real (ou, equivalentemente, ângulo -\tfrac{n}{2} com mesma distância 3).

Passo 7

Para fixar a ideia, vou dar exemplos numéricos simples (só para você ver pontos concretos; isto não altera as fórmulas gerais que dei):
  • Se escolher \,n=0, então \theta=0 e o ponto é (3,0). O conjugado também é (3,0) (mesmo ponto).
  • Se escolher \,n=\pi, então \theta=\dfrac{\pi}{2} e o ponto é \bigl(0,3\bigr). O conjugado é \bigl(0,-3\bigr).
  • Se escolher \,n=2\pi, então \theta=\pi e o ponto é (-3,0). O conjugado é (-3,0).
    Esses exemplos mostram a rotação ao redor do círculo de raio 3 e a reflexão do conjugado.

Passo 8

Recapitulando de forma bem prática (para você decorar e usar na prova):
  • Converter 3 e^{i n/2} para forma retangular: multiplicar 3 por \cos(\tfrac{n}{2}) e \sin(\tfrac{n}{2}).
  • O módulo é sempre 3, independente de n.
  • O argumento é \tfrac{n}{2} (reduzido módulo 2\pi se quiser o ângulo principal).
  • O conjugado troca o sinal da parte imaginária (ou troca \theta por -\theta na forma exponencial).

Resposta

Parte real x = 3\cos\!\left(\dfrac{n}{2}\right)
Parte imaginária y = 3\sin\!\left(\dfrac{n}{2}\right)
Módulo r = 3
Um valor do ângulo \theta = \dfrac{n}{2} (mod 2\pi)
Conjugado 3 e^{-i n/2} = 3\cos\!\left(\dfrac{n}{2}\right) - i\,3\sin\!\left(\dfrac{n}{2}\right)

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